Wiki-Quellcode von Lösung Analysis
Zuletzt geändert von akukin am 2026/01/17 16:25
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| author | version | line-number | content |
|---|---|---|---|
 |
1.1 | 1 | == 1.1 == |
| 2 | === Teilaufgabe a) === | ||
| 3 | {{detail summary="Erwartungshorizont"}} | ||
| 4 | Der Graph hat zwei doppelte Nullstellen. | ||
| 5 | <br> | ||
| 6 | Der Graph hat zur y-Achse symmetrischen Nullstellen. | ||
| 7 | <br> | ||
| 8 | Der Graph verläuft vom 2. in den 1. Quadranten. | ||
| 9 | {{/detail}} | ||
| 10 | |||
| 11 | |||
| 12 | {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} | ||
| |
12.1 | 13 | //Aufgabenstellung// |
| 14 | <br><p> | ||
| 15 | Nenne drei Argumente, warum es sich beim dargestellten Graphen um {{formula}}K_{g}{{/formula}} handeln kann. | ||
| 16 | </p> | ||
| 17 | //Lösung// | ||
| 18 | <br> | ||
| |
6.1 | 19 | Mögliche Argumente: |
| 20 | <br> | ||
| 21 | * Der Graph hat zwei doppelte Nullstellen. | ||
| 22 | <br> | ||
| 23 | (Die Funktion {{formula}}g(x){{/formula}} besitzt die doppelten Nullstellen {{formula}}x=2{{/formula}} und {{formula}}x=-2{{/formula}}) | ||
| 24 | <br> | ||
| 25 | * Der Graph hat zur y-Achse symmetrischen Nullstellen. | ||
| 26 | <br> | ||
| 27 | (Die Nullstellen {{formula}}x=2{{/formula}} und {{formula}}x=-2{{/formula}} sind symmetrisch zur y-Achse) | ||
| 28 | * Der Graph verläuft vom 2. in den 1. Quadranten. | ||
| 29 | <br> | ||
| |
7.1 | 30 | (Die Funktion {{formula}}g(x)=(x+2)^2\cdot (x-2)^2=1\cdot x^4+ \dots{{/formula}} besitzt einen geraden Grad (Grad 4) und einen Leitkoeffizienten {{formula}}>0{{/formula}}. Somit gilt {{formula}}g(x)\rightarrow \infty{{/formula}} für {{formula}}x\rightarrow \pm \infty{{/formula}}.) |
| |
1.1 | 31 | {{/detail}} |
| 32 | |||
| 33 | === Teilaufgabe b) === | ||
| 34 | {{detail summary="Erwartungshorizont"}} | ||
| 35 | {{formula}}a=\frac{1}{8}{{/formula}} | ||
| 36 | {{/detail}} | ||
| 37 | |||
| 38 | |||
| 39 | {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} | ||
| |
12.1 | 40 | //Aufgabenstellung// |
| 41 | <br><p> | ||
| 42 | Der Graph {{formula}} K_{f} {{/formula}} der Funktion {{formula}} f {{/formula}} mit {{formula}} f(x)=\frac{1}{8}x^{4}-x^{2}+2 {{/formula}} geht aus {{formula}} K_{g} {{/formula}} durch Streckung in {{formula}} y {{/formula}}-Richtung mit dem Faktor {{formula}} a {{/formula}} hervor. | ||
| 43 | <br> | ||
| 44 | Gib den Wert von {{formula}} a {{/formula}} an. | ||
| 45 | </p> | ||
| 46 | //Lösung// | ||
| 47 | <br> | ||
| |
6.1 | 48 | Ausmultiplizieren liefert: {{formula}}g(x)=(x+2)^2\cdot (x-2)^2=x^4+ \dots{{/formula}}. |
| 49 | Somit ist der Faktor {{formula}}a=\frac{1}{8}{{/formula}}. | ||
| |
1.1 | 50 | {{/detail}} |
| 51 | |||
| 52 | === Teilaufgabe c) === | ||
| 53 | {{detail summary="Erwartungshorizont"}} | ||
| 54 | Die beiden doppelten Nullstellen bei {{formula}}\pm 2{{/formula}} liefern die beiden Tiefpunkte von {{formula}}K_f{{/formula}}. Der Hochpunkt liegt aus Symmetriegründen auf der y-Achse: {{formula}} H(0 \mid 2) {{/formula}}. | ||
| 55 | <br> | ||
| 56 | Daraus ergibt sich der Ansatz: {{formula}}y = b \cdot x^2 + 2 {{/formula}} | ||
| 57 | <br><p> | ||
| 58 | Einsetzen der Koordinaten eines Tiefpunkts: {{formula}} | ||
| 59 | 0 = b \cdot 2^2 + 2 \ \Rightarrow \ b = -\frac{1}{2} | ||
| 60 | {{/formula}} | ||
| 61 | </p> | ||
| 62 | Damit: {{formula}} | ||
| 63 | y = -\frac{1}{2}x^2 + 2 | ||
| 64 | {{/formula}} | ||
| 65 | {{/detail}} | ||
| 66 | |||
| |
8.1 | 67 | |
| |
7.1 | 68 | {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} |
| |
12.1 | 69 | //Aufgabenstellung// |
| 70 | <br><p> | ||
| 71 | Bestimme eine Gleichung der Parabel (zweiten Grades), die durch alle Extrempunkte von {{formula}} K_{f} {{/formula}} verläuft. | ||
| 72 | </p> | ||
| 73 | //Lösung// | ||
| 74 | <br> | ||
| |
7.1 | 75 | Die beiden doppelten Nullstellen bei {{formula}}\pm 2{{/formula}} liefern die beiden Tiefpunkte von {{formula}}K_f{{/formula}}. Der Hochpunkt liegt aus Symmetriegründen auf der y-Achse: {{formula}} H(0 \mid 2) {{/formula}}. |
| 76 | <br> | ||
| 77 | Damit die Parabel durch die Punkte {{formula}}(-2|0), (2|0){{/formula}} und {{formula}}(0|2){{/formula}} verläuft, muss der Scheitel bei {{formula}}(0|2){{/formula}} liegen, das heißt die (nach unten geöffnete) Parabel ist um 2 in y-Richtung verschoben. | ||
| 78 | <br> | ||
| 79 | Daraus ergibt sich der Ansatz: {{formula}}y = b \cdot x^2 + 2 {{/formula}} | ||
| 80 | <br><p> | ||
| 81 | Einsetzen der Koordinaten eines Tiefpunkts: {{formula}} | ||
| 82 | 0 = b \cdot 2^2 + 2 \ \Rightarrow \ b = -\frac{1}{2} | ||
| 83 | {{/formula}} | ||
| 84 | </p> | ||
| 85 | Damit: {{formula}} | ||
| 86 | y = -\frac{1}{2}x^2 + 2 | ||
| 87 | {{/formula}} | ||
| 88 | {{/detail}} | ||
| |
1.1 | 89 | |
| 90 | == 1.2 == | ||
| 91 | === Teilaufgabe a) === | ||
| 92 | {{detail summary="Erwartungshorizont"}} | ||
| |
5.1 | 93 | [[image:1.2a.png||width="300"]] |
| |
1.1 | 94 | {{/detail}} |
| 95 | |||
| 96 | |||
| 97 | {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} | ||
| |
12.1 | 98 | //Aufgabenstellung// |
| 99 | <br><p> | ||
| 100 | Gegeben ist die Funktion {{formula}} h {{/formula}} mit {{formula}} h(x)=4\cdot \cos(x)+4 {{/formula}}. Ihr Graph ist {{formula}} K_{h} {{/formula}}. | ||
| 101 | <br> | ||
| 102 | Zeichne {{formula}} K_{h} {{/formula}} im Bereich {{formula}} -\pi\le x\le\pi {{/formula}}. | ||
| 103 | </p> | ||
| 104 | //Lösung// | ||
| 105 | <br> | ||
| |
7.1 | 106 | Ein Graph kann mittels Wertetabelle gezeichnet werden, die mit dem Taschenrechner erzeugt wird. |
| 107 | [[image:1.2a.png||width="300"]] | ||
| |
1.1 | 108 | {{/detail}} |
| 109 | |||
| |
7.1 | 110 | |
| |
1.1 | 111 | === Teilaufgabe b) === |
| 112 | {{detail summary="Erwartungshorizont"}} | ||
| 113 | {{formula}} | ||
| 114 | t(x) = -4x + 2\pi + 4 | ||
| 115 | {{/formula}} | ||
| 116 | <br> | ||
| 117 | {{formula}} | ||
| 118 | t'(x) = -4 | ||
| 119 | {{/formula}} | ||
| 120 | <br> | ||
| 121 | {{formula}} | ||
| 122 | h'(x) = -4 \cdot \sin(x) | ||
| 123 | {{/formula}} | ||
| 124 | <br> | ||
| 125 | {{formula}} | ||
| 126 | h\left(\frac{\pi}{2}\right) = 4 = t\left(\frac{\pi}{2}\right); \quad h'\left(\frac{\pi}{2}\right) = -4 = t'\left(\frac{\pi}{2}\right) | ||
| 127 | {{/formula}} | ||
| 128 | <br> | ||
| 129 | Damit ist {{formula}}t{{/formula}} Tangente an {{formula}}K_h{{/formula}} im Punkt {{formula}} | ||
| 130 | P\left(\frac{\pi}{2} \mid 4\right) | ||
| 131 | {{/formula}} | ||
| 132 | {{/detail}} | ||
| 133 | |||
| 134 | |||
| 135 | {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} | ||
| |
12.1 | 136 | //Aufgabenstellung// |
| 137 | <br><p> | ||
| 138 | Zeige, dass die Gerade {{formula}} t {{/formula}} mit der Gleichung {{formula}} y=-4x+2\pi+4 {{/formula}} eine Tangente an den Graphen {{formula}} K_{h} {{/formula}} im Punkt {{formula}} P(\frac{\pi}{2}|4) {{/formula}} ist. | ||
| 139 | </p> | ||
| 140 | //Lösung// | ||
| 141 | <br> | ||
| |
7.1 | 142 | Die Tangente muss durch den Punkt {{formula}}P\left(\frac{\pi}{2}|4\right){{/formula}} gehen und an der Stelle {{formula}}x=\frac{\pi}{2}{{/formula}} die selbe Steigung wie der Graph {{formula}}K_h{{/formula}}. |
| 143 | <br> | ||
| 144 | Das heißt, es muss geprüft werden, ob {{formula}} | ||
| 145 | h\left(\frac{\pi}{2}\right) = t\left(\frac{\pi}{2}\right){{/formula}} und {{formula}}h'\left(\frac{\pi}{2}\right) = t'\left(\frac{\pi}{2}\right) | ||
| 146 | {{/formula}} gilt: | ||
| 147 | <p></p> | ||
| 148 | {{formula}} | ||
| 149 | t(x) = -4x + 2\pi + 4 | ||
| 150 | {{/formula}} | ||
| 151 | <br> | ||
| 152 | {{formula}} | ||
| 153 | t'(x) = -4 | ||
| 154 | {{/formula}} | ||
| 155 | <br> | ||
| 156 | {{formula}} | ||
| 157 | h'(x) = -4 \cdot \sin(x) | ||
| 158 | {{/formula}} | ||
| 159 | <br> | ||
| 160 | {{formula}} | ||
| 161 | h\left(\frac{\pi}{2}\right) = 4 = t\left(\frac{\pi}{2}\right); \quad h'\left(\frac{\pi}{2}\right) = -4 = t'\left(\frac{\pi}{2}\right) | ||
| 162 | {{/formula}} | ||
| 163 | <br> | ||
| 164 | Damit ist {{formula}}t{{/formula}} Tangente an {{formula}}K_h{{/formula}} im Punkt {{formula}} | ||
| 165 | P\left(\frac{\pi}{2} \mid 4\right) | ||
| 166 | {{/formula}} | ||
| |
1.1 | 167 | {{/detail}} |
| 168 | |||
| 169 | === Teilaufgabe c) === | ||
| 170 | {{detail summary="Erwartungshorizont"}} | ||
| 171 | Steigung der Tangente im Kurvenpunkt {{formula}}P(u \mid h(u)){{/formula}}: {{formula}} | ||
| 172 | h'(u) = -4 \cdot \sin(u) | ||
| 173 | {{/formula}} | ||
| 174 | <br> | ||
| 175 | Damit Tangente in {{formula}}P{{/formula}}: {{formula}} | ||
| 176 | y = -4\sin(u)\cdot x + b | ||
| 177 | {{/formula}} | ||
| 178 | <br> | ||
| 179 | Punktprobe mit {{formula}}P(u \mid h(u)){{/formula}} ergibt den y-Achsenabschnitt in Abhängigkeit von {{formula}}u{{/formula}}: {{formula}} | ||
| 180 | b(u) = 4u\cdot \sin(u) + 4\cos(u) + 4 | ||
| 181 | {{/formula}} | ||
| 182 | <br> | ||
| 183 | {{formula}} | ||
| |
8.1 | 184 | b'(u) = 4u \cdot \cos(u)= 0 \ \Leftrightarrow \ u_1 = 0; \ \ u_2 = \frac{\pi}{2} |
| |
1.1 | 185 | {{/formula}} |
| 186 | <br><p> | ||
| 187 | {{formula}} | ||
| |
8.1 | 188 | b(0) = 8;\ \ b(\pi) = 0;\quad b\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2\pi + 4 \approx 10{,}3= b_{\max} |
| |
1.1 | 189 | {{/formula}} |
| 190 | </p> | ||
| 191 | //Hinweis: Auch alternative Argumentationen sind möglich, sofern sie vollständig beschrieben und begründet sind.// | ||
| 192 | {{/detail}} | ||
| 193 | |||
| 194 | |||
| 195 | {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} | ||
| |
12.1 | 196 | //Aufgabenstellung// |
| 197 | <br><p> | ||
| 198 | Die Tangente im Kurvenpunkt {{formula}} P(u|h(u)) {{/formula}}, {{formula}} 0\le u\le\pi {{/formula}} schneidet die {{formula}} y {{/formula}}-Achse im Punkt {{formula}} S {{/formula}}. Bestimme denjenigen Wert, den die y-Koordinate von {{formula}} S {{/formula}} maximal annehmen kann. | ||
| 199 | </p> | ||
| 200 | //Lösung// | ||
| 201 | <br> | ||
| |
8.1 | 202 | Wir bestimmen die Tangente im Kurvenpunkt {{formula}}P(u \mid h(u)){{/formula}} mit dem Ansatz {{formula}}y=mx+b{{/formula}}. |
| 203 | <br> | ||
| 204 | Dazu bestimmen wir die Steigung {{formula}}m{{/formula}} im Punkt {{formula}}P(u \mid h(u)){{/formula}}: | ||
| 205 | <br> | ||
| 206 | {{formula}} | ||
| 207 | h'(u) = -4 \cdot \sin(u) | ||
| 208 | {{/formula}} | ||
| 209 | <br> | ||
| 210 | Damit lautet Tangente in {{formula}}P{{/formula}}: | ||
| 211 | <br> | ||
| 212 | {{formula}} | ||
| 213 | y = -4\sin(u)\cdot x + b | ||
| 214 | {{/formula}} | ||
| 215 | <br> | ||
| |
10.1 | 216 | Punktprobe mit {{formula}}P(u \mid h(u)){{/formula}} ergibt: |
| |
8.1 | 217 | <br> |
| 218 | {{formula}} | ||
| |
10.1 | 219 | h(u) = -4\sin(u)\cdot u + b = 4\cdot \cos(u)+4 |
| |
8.1 | 220 | {{/formula}} |
| 221 | <br> | ||
| 222 | Nun stellen wir die Gleichung nach {{formula}}b{{/formula}} um und erhalten in Abhängigkeit von {{formula}}u{{/formula}}: | ||
| 223 | <br> | ||
| 224 | {{formula}} | ||
| 225 | b(u) = 4u\cdot \sin(u) + 4\cos(u) + 4 | ||
| 226 | {{/formula}} | ||
| 227 | <p></p> | ||
| 228 | Um nun zu bestimmen, welchen Wert {{formula}}b(u){{/formula}} maximal annehmen kann, bestimmen wir mögliche Extremstellen der Funktion: | ||
| 229 | <br> | ||
| 230 | {{formula}} | ||
| 231 | b'(u) = 4u \cdot \cos(u)= 0 \ \Leftrightarrow \ u_1 = 0; \ \ u_2 = \frac{\pi}{2} | ||
| 232 | {{/formula}} | ||
| 233 | <br> | ||
| 234 | Einsetzen der möglichen Extremstellen liefert: | ||
| 235 | <br> | ||
| 236 | {{formula}} | ||
| 237 | b(0) = 8;\ \ b\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2\pi + 4 \approx 10{,}3 | ||
| 238 | {{/formula}} | ||
| 239 | <br> | ||
| 240 | Nun prüfen wir noch die obere Grenze {{formula}}\pi{{/formula}} für {{formula}}u{{/formula}}: | ||
| 241 | {{formula}}b(\pi) =4\cos(\pi)+4+4\sin(\pi) =-4+4+0=0{{/formula}} | ||
| 242 | <p></p> | ||
| 243 | Somit ist {{formula}}b_{\max}=2\pi + 4 \approx 10{,}3{{/formula}} | ||
| 244 | <p></p> | ||
| 245 | //Hinweis: Auch alternative Argumentationen sind möglich, sofern sie vollständig beschrieben und begründet sind.// | ||
| |
1.1 | 246 | {{/detail}} |
| |
2.1 | 247 | |
| 248 | == 1.3 == | ||
| 249 | === Teilaufgabe a) === | ||
| 250 | {{detail summary="Erwartungshorizont"}} | ||
| 251 | Flächeninhalt zu Beginn: 81 cm^^2^^, d.h. {{formula}}A(0) = 81{{/formula}} | ||
| 252 | <br><p> | ||
| 253 | Mit jedem Schnitt wird der Flächeninhalt halbiert, d.h. der Ausgangswert wird für {{formula}}1, 2, 3 \dots n{{/formula}} Schnitte mit | ||
| |
8.1 | 254 | {{formula}}\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2}\right)^2, \left(\frac{1}{2}\right)^3 \dots \left(\frac{1}{2}\right)^n{{/formula}} multipliziert. |
| |
2.1 | 255 | </p> |
| 256 | Daher {{formula}} | ||
| 257 | A(n) = 81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n | ||
| |
3.1 | 258 | {{/formula}}. |
| |
2.1 | 259 | {{/detail}} |
| 260 | |||
| 261 | |||
| |
9.1 | 262 | {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} |
| |
12.1 | 263 | //Aufgabenstellung// |
| 264 | <br><p> | ||
| 265 | Ein Notizzettel hat die Maße {{formula}} 9 \times 9\text{ cm} {{/formula}}. Von diesem Notizzettel wird nun immer wieder ein Stück abgeschnitten, sodass sich der Flächeninhalt {{formula}} A {{/formula}} des verbleibenden Stücks mit jedem Schnitt halbiert. | ||
| 266 | <p></p> | ||
| 267 | Zeige, dass sich der nach {{formula}} n {{/formula}} Schnitten verbleibende Flächeninhalt des Notizzettels in {{formula}} \text{cm}^{2} {{/formula}} durch die Funktion {{formula}} A {{/formula}} mit {{formula}} A(n)=81\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n}; \ n\in\mathbb{N} {{/formula}} beschreiben lässt. | ||
| 268 | </p> | ||
| 269 | //Lösung// | ||
| 270 | <br> | ||
| |
9.1 | 271 | Flächeninhalt zu Beginn: 81 cm^^2^^, d.h. {{formula}}A(0) = 81{{/formula}} |
| 272 | <br> | ||
| 273 | Nach dem ersten mal Halbieren gilt: {{formula}}A(1) = A(0) \cdot \frac{1}{2} = 81 \cdot \frac{1}{2}{{/formula}} | ||
| 274 | <br> | ||
| 275 | Nach dem zweiten mal Halbieren gilt: {{formula}}A(2) = A(1)\cdot \frac{1}{2}=\left(81 \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{1}{2}=81\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2=A(0)\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2{{/formula}} | ||
| 276 | <br> | ||
| 277 | Nach dem dritten mal Halbieren gilt: {{formula}}A(3) = A(2)\cdot \frac{1}{2}=\left(81\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2\right) \cdot \frac{1}{2}=81\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 =A(0)\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3{{/formula}} | ||
| 278 | <br> | ||
| 279 | ... | ||
| 280 | <br> | ||
| 281 | Wir erkennen, dass der Ausgangswert {{formula}}A(0){{/formula}} somit für {{formula}}1, 2, 3 \dots n{{/formula}} Schnitte mit | ||
| 282 | {{formula}}\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2}\right)^2, \left(\frac{1}{2}\right)^3 \dots \left(\frac{1}{2}\right)^n{{/formula}} multipliziert wird. | ||
| 283 | <p></p> | ||
| 284 | Daher {{formula}} | ||
| 285 | A(n) = 81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n | ||
| 286 | {{/formula}}. | ||
| 287 | {{/detail}} | ||
| 288 | |||
| |
2.1 | 289 | === Teilaufgabe b) === |
| 290 | {{detail summary="Erwartungshorizont"}} | ||
| 291 | {{formula}} | ||
| 292 | 81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n = 0{,}01 \ | ||
| 293 | \Leftrightarrow \ \left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{1}{8100} | ||
| 294 | {{/formula}} | ||
| 295 | <br> | ||
| 296 | liefert | ||
| 297 | <br> | ||
| 298 | {{formula}} | ||
| |
3.1 | 299 | n > \log_{\frac{1}{2}}\!\left(\frac{1}{8100}\right) \approx 12{,}98 |
| |
2.1 | 300 | {{/formula}} |
| 301 | <br> | ||
| 302 | Es muss 13-mal ein Stück des Notizzettels abgeschnitten werden. | ||
| 303 | {{/detail}} | ||
| 304 | |||
| 305 | |||
| 306 | {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} | ||
| |
12.1 | 307 | //Aufgabenstellung// |
| 308 | <br><p> | ||
| 309 | Berechne, wie oft man ein Stück des Notizzettels abschneiden muss, bis das verbleibende Stück erstmals einen Flächeninhalt von weniger als einem hundertstel Quadratzentimeter hat. | ||
| 310 | </p> | ||
| 311 | //Lösung// | ||
| 312 | <br> | ||
| |
8.1 | 313 | Es soll gelten: {{formula}}81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n <\frac{1}{100}{{/formula}} |
| 314 | <br> | ||
| 315 | Umstellen nach {{formula}}n{{/formula}} liefert: | ||
| 316 | <br> | ||
| 317 | {{formula}} | ||
| 318 | \begin{align*} | ||
| 319 | 81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n &<\frac{1}{100} &&\mid :81 \\ | ||
| 320 | \Leftrightarrow \left(\frac{1}{2}\right)^n &< \frac{1}{8100} &&\mid \log \\ | ||
| 321 | \Leftrightarrow \log\!\left(\left(\frac{1}{2}\right)^n\right)&< \log\!\left(\frac{1}{8100}\right) \\ | ||
| 322 | \Leftrightarrow n\cdot\log\!\left(\frac{1}{2}\right)&< \log\!\left(\frac{1}{8100}\right) &&\mid : \log\!\left(\frac{1}{2}\right) \\ | ||
| 323 | \Leftrightarrow n &> \frac{\log\!\left(\frac{1}{8100}\right)}{\log\!\left(\frac{1}{2}\right) }=\log_{\frac{1}{2}}\!\left(\frac{1}{8100}\right) \approx 12,98 | ||
| 324 | \end{align*} | ||
| 325 | {{/formula}} | ||
| 326 | <br> | ||
| 327 | Es muss 13-mal ein Stück des Notizzettels abgeschnitten werden. | ||
| 328 | <p></p> | ||
| 329 | //Beachte: Da {{formula}}\log\left(\frac{1}{2}\right)<0{{/formula}} ist, muss das Ungleichzeichen im letzten Schritt umgedreht werden. // | ||
| |
2.1 | 330 | {{/detail}} |
| 331 | |||
| 332 |