Lösung Lineare Algebra
Zuletzt geändert von akukin am 2026/01/02 19:40
Teilaufgabe a)
Erwartungshorizont
\(g\) ist parallel zur x1x3-Ebene, daher nur zwei Spurpunkte:
\(S_{23}(0 \mid -2 \mid 6), \quad S_{12}(-6 \mid -2 \mid 0)\)Erläuterung der Lösung
Teilaufgabe b)
Erwartungshorizont
\(h: \ \vec x =\begin{pmatrix}5\\-1\\4\end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix}-4\\2\\-4 \end{pmatrix}, \ r \in \mathbb{R}\)
Das LGS \(\begin{pmatrix}-1\\-2\\5\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\-1\\4\end{pmatrix} + r \cdot\begin{pmatrix}-4\\2\\-4\end{pmatrix}\) hat keine Lösung.Die Geraden \(g\) und \(h\) sind nicht parallel, da die Richtungsvektoren keine Vielfachen sind. Somit sind die Geraden windschief.
Erläuterung der Lösung
Teilaufgabe c)
Erwartungshorizont
Eine mögliche Lösung ist \(E: \ \vec x = \begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}+ r \cdot \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}; \ r, s \in \mathbb{R}\)Erläuterung der Lösung
Teilaufgabe d)
Erwartungshorizont
Der Term gibt den Flächeninhalt des Dreiecks \(ABC\) an.Erläuterung der Lösung
Teilaufgabe e)
Erwartungshorizont
Auf der Hypotenuse \(AC\) hat nur ihr Mittelpunkt \(M\) denselben Abstand von \(A\) und \(C\).\(\overrightarrow{OM}= \overrightarrow{OA}+\frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{AC}= \begin{pmatrix}2{,}5\\1\\3\end{pmatrix}, \ \Bigl| \overrightarrow{AM} \Bigr|+ \Bigl| \overrightarrow{MB} \Bigr|+\Bigl| \overrightarrow{CM} \Bigr|=\sqrt{11{,}25}\)
Somit haben alle drei Punkte den gleichen Abstand vom Mittelpunkt der Hypotenuse \(AC\). Sie liegen deshalb auf einem Kreis mit diesem Punkt als Mittelpunkt.
Hinweis: Eine Argumentation mit dem Thaleskreis ist ebenso zulässig.