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Änderungen von Dokument Lösung Lineare Algebra

Zuletzt geändert von akukin am 2026/01/17 12:06
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -1,35 +1,100 @@
1 1  === Teilaufgabe a) ===
2 2  {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
3 3  {{formula}}g{{/formula}} ist parallel zur {{formula}}x_1x_3{{/formula}}-Ebene, daher nur zwei Spurpunkte:
4 -<br>
5 -{{formula}}S_{23}(0 \mid -2 \mid 6), \quad S_{12}(-6 \mid -2 \mid 0){{/formula}}
4 +<p></p>
5 +{{formula}}S_{23}(0 \mid -2 \mid 6), \ \ S_{12}(-6 \mid -2 \mid 0){{/formula}}
6 6  {{/detail}}
7 7  
8 8  
9 9  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
10 -
10 +<p>
11 +//Aufgabenstellung//
12 +<br>
13 +Bestimme die Koordinaten der Schnittpunkte von {{formula}} g {{/formula}} mit den Koordinatenebenen.
14 +</p>
15 +//Lösung//
16 +<br>
17 +Da die {{formula}}x_2{{/formula}}-Komponente des Richtungsvektors von {{formula}}g{{/formula}} null ist, ist {{formula}}g{{/formula}} parallel zur {{formula}}x_1x_3{{/formula}}. Daher existieren nur zwei Spurpunkte.
18 +<p></p>
19 +Den Schnittpunkt mit der {{formula}}x_2x_3{{/formula}}-Ebene erhalten wir, indem wir die erste Zeile der Geradengleichung gleich 0 setzen ({{formula}}x_1=0{{/formula}}) und nach {{formula}}r{{/formula}} auflösen:
20 +<br>
21 +{{formula}}0=-1+r\cdot 1 \ \Leftrightarrow 1=r{{/formula}}
22 +<br>
23 +Nun setzen wir {{formula}}r=1{{/formula}} in die Geradengleichung ein, um den Spurpunkt zu erhalten:
24 +<br>
25 +{{formula}}\vec{x} = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 \\-2 \\ 6 \end{pmatrix} \quad \rightarrow \ S_{23}(0 \mid -2 \mid 6){{/formula}}
26 +<p></p>
27 +Analog ergibt sich der Schnittpunkt mit der {{formula}}x_1x_2{{/formula}}-Ebene, indem wir die dritte Zeile der Geradengleichung gleich 0 setzen:
28 +<br>
29 +{{formula}}0=5+r\cdot 1 \ \Leftrightarrow -5=r{{/formula}}.
30 +<br>
31 +{{formula}}\vec{x} = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix} + (-5) \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -6 \\-2 \\ 0 \end{pmatrix} \quad \rightarrow \ S_{12}(-6 \mid -2 \mid 0){{/formula}}
32 +<p></p>
33 +Die Koordinaten der Spurpunkte lauten somit
34 +{{formula}}S_{23}(0 \mid -2 \mid 6), \ \ S_{12}(-6 \mid -2 \mid 0){{/formula}}.
11 11  {{/detail}}
12 12  
13 13  === Teilaufgabe b) ===
14 14  {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
39 +<p>
15 15  {{formula}}h: \ \vec x =\begin{pmatrix}5\\-1\\4\end{pmatrix} + r \cdot
16 16  \begin{pmatrix}-4\\2\\-4
17 -\end{pmatrix},
18 -; \ r \in \mathbb{R}
42 +\end{pmatrix}, \ r \in \mathbb{R}
19 19  {{/formula}}
20 -
44 +</p>
21 21  Das LGS
22 22  {{formula}}
23 23  \begin{pmatrix}-1\\-2\\5\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\-1\\4\end{pmatrix} + r \cdot\begin{pmatrix}-4\\2\\-4\end{pmatrix}
24 24  {{/formula}}
25 25  hat keine Lösung.
26 -
50 +<br>
27 27  Die Geraden {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} sind nicht parallel, da die Richtungsvektoren keine Vielfachen sind. Somit sind die Geraden windschief.
28 28  {{/detail}}
29 29  
30 30  
31 31  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
32 -
56 +<p>
57 +//Aufgabenstellung//
58 +<br>
59 +{{formula}} h {{/formula}} ist die Gerade durch {{formula}} A {{/formula}} und {{formula}} B {{/formula}}.
60 +Zeige, dass {{formula}} g {{/formula}} und {{formula}} h {{/formula}} zueinander windschief sind.
61 +</p>
62 +//Lösung//
63 +<br>
64 +Die Gleichung der Geraden {{formula}}h{{/formula}} stellen wir auf, indem wir einen der beiden Punkte, hier {{formula}}A{{/formula}}, als Stützvektor verwenden und als Richtungsvektor den Verbindungsvektor der Punkte {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}B{{/formula}}.
65 +<br>
66 +{{formula}}
67 +\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5\\-1\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\2\\-4\end{pmatrix}
68 +{{/formula}}
69 +<p></p>
70 +Somit:
71 +<br>
72 +{{formula}}h: \ \vec x =\begin{pmatrix}5\\-1\\4\end{pmatrix} + r \cdot
73 +\begin{pmatrix}-4\\2\\-4
74 +\end{pmatrix}, \ r \in \mathbb{R}
75 +{{/formula}}
76 +<p></p>
77 +Wir setzen die beiden Geraden gleich
78 +<br>
79 +{{formula}}
80 +\begin{pmatrix}-1\\-2\\5\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\-1\\4\end{pmatrix} + r \cdot\begin{pmatrix}-4\\2\\-4\end{pmatrix}
81 +{{/formula}}
82 +<br>
83 +und erhalten dadurch das LGS
84 +<br>
85 +{{formula}}
86 +\begin{array}{rll}
87 +-1 + s = 5 - 4r & \quad \Leftrightarrow \quad & (1) \ s + 4r = 6 \\
88 +-2 = -1 + 2r & \quad \Leftrightarrow \quad & (2) \ -2r = 1 \\
89 +5 + s = 4 - 4r & \quad \Leftrightarrow \quad & (3) \ s + 4r = -1
90 +\end{array}
91 +{{/formula}}
92 +<br>
93 +Subtrahiert man Zeile {{formula}}(3){{/formula}} von Zeile {{formula}}(1){{/formula}}, so erhält man die falsche Aussage {{formula}}0=7{{/formula}}.
94 +<br>
95 +Das LGS hat somit keine Lösung und die beiden Geraden besitzen keinen Schnittpunkt.
96 +<br>
97 +Die Geraden {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} sind zudem nicht parallel, da die Richtungsvektoren keine Vielfachen sind. Somit sind die Geraden windschief.
33 33  {{/detail}}
34 34  
35 35  === Teilaufgabe c) ===
... ... @@ -43,7 +43,39 @@
43 43  
44 44  
45 45  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
46 -
111 +<p>
112 +//Aufgabenstellung//
113 +<br>
114 +Gib eine Gleichung einer Ebene an, die parallel zur {{formula}} x_{1}x_{3} {{/formula}}-Ebene ist und von {{formula}} C {{/formula}} den Abstand {{formula}} 2 {{/formula}} hat.
115 +</p>
116 +//Lösung//
117 +<br>
118 +Damit die Ebene parallel zur {{formula}}x_1x_3{{/formula}}- Ebene ist, muss ein Richtungsvektor parallel zur {{formula}}x_1{{/formula}}-Achse sein und der andere zur {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse.
119 +<br>
120 +Das heißt, wir verwenden die Richtungsvektoren {{formula}}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}{{/formula}} und {{formula}}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}{{/formula}} (oder Vielfache davon).
121 +<p></p>
122 +Damit die Ebene von {{formula}}C{{/formula}} den Abstand {{formula}}2{{/formula}} hat, wählen wir, ausgehend vom Punkt {{formula}}C(0|3|2){{/formula}}, als Stützvektor entweder {{formula}}\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}{{/formula}} oder {{formula}}\begin{pmatrix}0\\5\\2\end{pmatrix}{{/formula}}, damit die Differenz der {{formula}}x_2{{/formula}}-Koordinaten {{formula}}2{{/formula}} ist.
123 +<p></p>
124 +Somit ist eine mögliche Lösung
125 +<br>
126 +{{formula}}E: \ \vec x =
127 +\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}+ r \cdot
128 +\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} + s \cdot
129 +\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}; \ r, s \in \mathbb{R}
130 +{{/formula}}
131 +<br>
132 +Eine weitere Lösung wäre
133 +<br>
134 +{{formula}}E_2: \ \vec x =
135 +\begin{pmatrix}0\\5\\2\end{pmatrix}+ r \cdot
136 +\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} + s \cdot
137 +\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}; \ r, s \in \mathbb{R}
138 +{{/formula}}
139 +
140 +<div style="height: 30px;"></div>
141 +Alternativ lautet die Ebenengleichung in der Koordinatenform entweder
142 +<br>
143 +{{formula}}E: x_2=1{{/formula}} oder {{formula}}E_2: x_2=5{{/formula}}.
47 47  {{/detail}}
48 48  
49 49  === Teilaufgabe d) ===
... ... @@ -53,7 +53,20 @@
53 53  
54 54  
55 55  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
56 -
153 +<p>
154 +//Aufgabenstellung//
155 +<br>
156 +Es gilt: {{formula}} \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = 0 {{/formula}}.
157 +<br>
158 +Erläutere, welche geometrische Größe durch den Term
159 +{{formula}} \frac{1}{2} \cdot \Bigl|\overrightarrow{AB}\Bigr| \cdot \Bigl|\overrightarrow{BC}\Bigr| {{/formula}}
160 +berechnet wird.
161 +</p>
162 +//Lösung//
163 +<br>
164 +Da {{formula}}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=0{{/formula}} gilt, wissen wir, dass {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} und {{formula}}\overrightarrow{BC}{{/formula}} senkrecht auf einander stehen. Die Punkte {{formula}}A, B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} bilden somit ein rechtwinkliges Dreieck. Die Strecken {{formula}}AB{{/formula}} und {{formula}}BC{{/formula}} sind dabei die Katheten des Dreiecks.
165 +<br>
166 +Da die Längen der Vektoren {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} und {{formula}}\overrightarrow{BC}{{/formula}} den Längen der Katheten des Dreiecks {{formula}}ABC{{/formula}} entsprechen, wird durch den Term {{formula}} \frac{1}{2} \cdot \Bigl|\overrightarrow{AB}\Bigr| \cdot \Bigl|\overrightarrow{BC}\Bigr| {{/formula}} der Flächeninhalt des Dreiecks {{formula}}ABC{{/formula}} berechnet.
57 57  {{/detail}}
58 58  
59 59  === Teilaufgabe e) ===
... ... @@ -63,7 +63,7 @@
63 63  {{formula}}
64 64  \overrightarrow{OM}= \overrightarrow{OA}+\frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{AC}=
65 65  \begin{pmatrix}2{,}5\\1\\3\end{pmatrix}, \
66 -\bigl| \overrightarrow{AM} \bigr|+ \bigl| \overrightarrow{MB} \bigr|+\bigl| \overrightarrow{CM} \bigr|=\sqrt{11{,}25}
176 +\Bigl| \overrightarrow{AM} \Bigr|= \Bigl| \overrightarrow{MB} \Bigr|=\Bigl| \overrightarrow{CM} \Bigr|=\sqrt{11{,}25}
67 67  {{/formula}}
68 68  <p>
69 69  Somit haben alle drei Punkte den gleichen Abstand vom Mittelpunkt der Hypotenuse {{formula}}AC{{/formula}}.
... ... @@ -75,5 +75,39 @@
75 75  
76 76  
77 77  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
78 -
188 +<p>
189 +//Aufgabenstellung//
190 +<br>
191 + Es gibt genau einen Kreis, auf dem die Punkte {{formula}} A {{/formula}}, {{formula}} B {{/formula}} und {{formula}} C {{/formula}} liegen. Zeige, dass der Mittelpunkt dieses Kreises auf der Hypotenuse des Dreiecks {{formula}} ABC {{/formula}} liegt.
192 +</p>
193 +//Lösung//
194 +<br>
195 +Skizze:
196 +<br>
197 +[[image:SkizzeKreis (1).svg||width="250"]]
198 +<br>
199 +Aus der vorherigen Teilaufgabe wissen wir, dass {{formula}}AC{{/formula}} die Hypotenuse des Dreieckes ist. Auf der Hypotenuse {{formula}}AC{{/formula}} hat nur ihr Mittelpunkt {{formula}}M{{/formula}} denselben Abstand von {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}}.
200 +<br>
201 +Den Mittelpunkt {{formula}}M{{/formula}} der Strecke {{formula}}AC{{/formula}} erhalten wir durch
202 +<br>
203 +{{formula}}
204 +\overrightarrow{OM}= \overrightarrow{OA}+\frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}5\\-1\\4\end{pmatrix}+\frac{1}{2}\cdot \begin{pmatrix}-5\\4\\-2\end{pmatrix} =
205 +\begin{pmatrix}2{,}5\\1\\3\end{pmatrix}
206 +{{/formula}}
207 +<p></p>
208 +Nun müssen wir prüfen, dass der berechnete Mittelpunkt von den Punkten {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} jeweils den selben Abstand besitzt:
209 +<br>
210 +{{formula}}
211 +\begin{align*}
212 +&\Bigl| \overrightarrow{AM} \Bigr| =\left| \begin{pmatrix}-2,5\\2\\-1\end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-2,5)^2+2^2+(-1)^2} =\sqrt{11{,}25} \\
213 +&\Bigl| \overrightarrow{MB} \Bigr| =\left| \begin{pmatrix}-1,5\\0\\3\end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-1,5)^2+0^2+3^2} =\sqrt{11{,}25}\\
214 +&\Bigl| \overrightarrow{CM} \Bigr|=\left| \begin{pmatrix}2,5\\-2\\1\end{pmatrix}\right|=\sqrt{2,5^2+(-2)^2+1^2} =\sqrt{11{,}25} \\
215 +\end{align*}
216 +{{/formula}}
217 +<p>
218 +Somit haben alle drei Punkte den gleichen Abstand vom Mittelpunkt der Hypotenuse {{formula}}AC{{/formula}}.
219 +Sie liegen deshalb auf einem Kreis mit diesem Punkt als Mittelpunkt.
220 +</p>
221 +Hinweis:
222 +Eine Argumentation mit dem Thaleskreis ist ebenso zulässig.
79 79  {{/detail}}
SkizzeKreis (1).svg
Author
... ... @@ -1,0 +1,1 @@
1 +XWiki.akukin
Größe
... ... @@ -1,0 +1,1 @@
1 +7.8 KB
Inhalt
... ... @@ -1,0 +1,1 @@
1 +<svg version="1.1" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="562" height="558"><defs><clipPath id="fwrlIlnFlkyZ"><path fill="none" stroke="none" d=" M 0 0 L 562 0 L 562 558 L 0 558 L 0 0 Z"/></clipPath></defs><g transform="scale(1,1)" clip-path="url(#fwrlIlnFlkyZ)"><g><rect fill="rgb(255,255,255)" stroke="none" x="0" y="0" width="562" height="558" fill-opacity="1"/><path fill="none" stroke="rgb(0,0,0)" paint-order="fill stroke markers" d=" M 486.78975246059804 263.5558029039587 C 486.78975246059804 374.44807012479384 396.8938080663022 464.3440145190899 286.0015408454674 464.3440145190899 C 175.10927362463258 464.3440145190899 85.21332923033677 374.44807012479384 85.21332923033677 263.5558029039587 C 85.21332923033677 152.66353568312354 175.10927362463258 62.76759128882745 286.0015408454674 62.76759128882745 C 396.8938080663022 62.76759128882745 486.78975246059804 152.66353568312354 486.78975246059804 263.5558029039587 Z" 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