Änderungen von Dokument Lösung Lineare Algebra

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -1,29 +1,46 @@
1	1	=== Teilaufgabe a) ===
2	2	{{detail summary="Erwartungshorizont"}}
3	3	{{formula}}g{{/formula}} ist parallel zur {{formula}}x_1x_3{{/formula}}-Ebene, daher nur zwei Spurpunkte:
4		-<br>
	4	+<p></p>
5	5	{{formula}}S_{23}(0 \mid -2 \mid 6), \quad S_{12}(-6 \mid -2 \mid 0){{/formula}}
6	6	{{/detail}}
7	7
8	8
9	9	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
10		-
	10	+Da die {{formula}}x_2{{/formula}}-Komponente des Richtungsvektors von {{formula}}g{{/formula}} 0 ist, ist {{formula}}g{{/formula}} parallel zur {{formula}}x_1x_3{{/formula}}. Daher existieren nur zwei Spurpunkte.
	11	+<p></p>
	12	+Den ersten Spurpunkt erhalten wir, indem wir die erste Geradenzeile gleich 0 setzen und nach {{formula}}r{{/formula}} auflösen:
	13	+<br>
	14	+{{formula}}0=-1+r\cdot 1 \ \Leftrightarrow 1=r{{/formula}}
	15	+<br>
	16	+Nun setzen wir {{formula}}r=1{{/formula}} in die Geradengleichung ein, um den Spurpunkt zu erhalten:
	17	+<br>
	18	+{{formula}}\vec{x} = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 \\-2 \\ 6 \end{pmatrix} \quad \rightarrow \ S_{23}(0 \mid -2 \mid 6){{/formula}}
	19	+<p></p>
	20	+Analog ergibt sich der zweite Spurpunkt, indem wir die dritte Geradenzeile gleich 0 setzen:
	21	+<br>
	22	+{{formula}}0=5+r\cdot 1 \ \Leftrightarrow -5=r{{/formula}}.
	23	+<br>
	24	+{{formula}}\vec{x} = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix} + (-5) \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -6 \\-2 \\ 0 \end{pmatrix} \quad \rightarrow \ S_{12}(-6 \mid -2 \mid 0){{/formula}}
	25	+<p></p>
	26	+Die Koordinaten der Spurpunkte lauten somit
	27	+{{formula}}S_{23}(0 \mid -2 \mid 6), \quad S_{12}(-6 \mid -2 \mid 0){{/formula}},
11	11	{{/detail}}
12	12
13	13	=== Teilaufgabe b) ===
14	14	{{detail summary="Erwartungshorizont"}}
	32	+<p>
15	15	{{formula}}h: \ \vec x =\begin{pmatrix}5\\-1\\4\end{pmatrix} + r \cdot
16	16	\begin{pmatrix}-4\\2\\-4
17		-\end{pmatrix},
18		-; \ r \in \mathbb{R}
	35	+\end{pmatrix}, \ r \in \mathbb{R}
19	19	{{/formula}}
20		-
	37	+</p>
21	21	Das LGS
22	22	{{formula}}
23	23	\begin{pmatrix}-1\\-2\\5\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\-1\\4\end{pmatrix} + r \cdot\begin{pmatrix}-4\\2\\-4\end{pmatrix}
24	24	{{/formula}}
25	25	hat keine Lösung.
26		-
	43	+<br>
27	27	Die Geraden {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} sind nicht parallel, da die Richtungsvektoren keine Vielfachen sind. Somit sind die Geraden windschief.
28	28	{{/detail}}
29	29
...	...	@@ -63,7 +63,7 @@
63	63	{{formula}}
64	64	\overrightarrow{OM}= \overrightarrow{OA}+\frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{AC}=
65	65	\begin{pmatrix}2{,}5\\1\\3\end{pmatrix}, \
66		-\bigl| \overrightarrow{AM} \bigr|+ \bigl| \overrightarrow{MB} \bigr|+\bigl| \overrightarrow{CM} \bigr|=\sqrt{11{,}25}
	83	+\Bigl| \overrightarrow{AM} \Bigr|+ \Bigl| \overrightarrow{MB} \Bigr|+\Bigl| \overrightarrow{CM} \Bigr|=\sqrt{11{,}25}
67	67	{{/formula}}
68	68	<p>
69	69	Somit haben alle drei Punkte den gleichen Abstand vom Mittelpunkt der Hypotenuse {{formula}}AC{{/formula}}.