Änderungen von Dokument Lösung Lineare Algebra

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -7,7 +7,12 @@
7	7
8	8
9	9	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
10		-Da die {{formula}}x_2{{/formula}}-Komponente des Richtungsvektors von {{formula}}g{{/formula}} 0 ist, ist {{formula}}g{{/formula}} parallel zur {{formula}}x_1x_3{{/formula}}. Daher existieren nur zwei Spurpunkte.
	10	+//Aufgabenstellung//
	11	+Bestimme die Koordinaten der Schnittpunkte von {{formula}} g {{/formula}} mit den Koordinatenebenen.
	12	+</p>
	13	+//Lösung//
	14	+<br>
	15	+Da die {{formula}}x_2{{/formula}}-Komponente des Richtungsvektors von {{formula}}g{{/formula}} null ist, ist {{formula}}g{{/formula}} parallel zur {{formula}}x_1x_3{{/formula}}. Daher existieren nur zwei Spurpunkte.
11	11	<p></p>
12	12	Den Schnittpunkt mit der {{formula}}x_2x_3{{/formula}}-Ebene erhalten wir, indem wir die erste Zeile der Geradengleichung gleich 0 setzen ({{formula}}x_1=0{{/formula}}) und nach {{formula}}r{{/formula}} auflösen:
13	13	<br>
...	...	@@ -46,10 +46,16 @@
46	46
47	47
48	48	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
	54	+//Aufgabenstellung//
	55	+{{formula}} h {{/formula}} ist die Gerade durch {{formula}} A {{/formula}} und {{formula}} B {{/formula}}.
	56	+Zeige, dass {{formula}} g {{/formula}} und {{formula}} h {{/formula}} zueinander windschief sind.
	57	+</p>
	58	+//Lösung//
	59	+<br>
49	49	Die Gleichung der Geraden {{formula}}h{{/formula}} stellen wir auf, indem wir einen der beiden Punkte, hier {{formula}}A{{/formula}}, als Stützvektor verwenden und als Richtungsvektor den Verbindungsvektor der Punkte {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}B{{/formula}}.
50	50	<br>
51	51	{{formula}}
52		-\overline{AB}=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5\\-1\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\2\\-4\end{pmatrix}
	63	+\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5\\-1\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\2\\-4\end{pmatrix}
53	53	{{/formula}}
54	54	<p></p>
55	55	Somit:
...	...	@@ -93,6 +93,11 @@
93	93
94	94
95	95	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
	107	+//Aufgabenstellung//
	108	+Gib eine Gleichung einer Ebene an, die parallel zur {{formula}} x_{1}x_{3} {{/formula}}-Ebene ist und von {{formula}} C {{/formula}} den Abstand {{formula}} 2 {{/formula}} hat.
	109	+</p>
	110	+//Lösung//
	111	+<br>
96	96	Damit die Ebene parallel zur {{formula}}x_1x_3{{/formula}}- Ebene ist, muss ein Richtungsvektor parallel zur {{formula}}x_1{{/formula}}-Achse sein und der andere zur {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse.
97	97	<br>
98	98	Das heißt, wir verwenden die Richtungsvektoren {{formula}}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}{{/formula}} und {{formula}}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}{{/formula}} (oder Vielfache davon).
...	...	@@ -109,11 +109,16 @@
109	109	<br>
110	110	Eine weitere Lösung wäre
111	111	<br>
112		-{{formula}}E: \ \vec x =
	128	+{{formula}}E_2: \ \vec x =
113	113	\begin{pmatrix}0\\5\\2\end{pmatrix}+ r \cdot
114	114	\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} + s \cdot
115	115	\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}; \ r, s \in \mathbb{R}
116	116	{{/formula}}
	133	+
	134	+<div style="height: 30px;"></div>
	135	+Alternativ lautet die Ebenengleichung in der Koordinatenform entweder
	136	+<br>
	137	+{{formula}}E: x_2=1{{/formula}} oder {{formula}}E_2: x_2=5{{/formula}}.
117	117	{{/detail}}
118	118
119	119	=== Teilaufgabe d) ===
...	...	@@ -123,6 +123,15 @@
123	123
124	124
125	125	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
	147	+//Aufgabenstellung//
	148	+Es gilt: {{formula}} \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = 0 {{/formula}}.
	149	+<br>
	150	+Erläutere, welche geometrische Größe durch den Term
	151	+{{formula}} \frac{1}{2} \cdot \Bigl|\overrightarrow{AB}\Bigr| \cdot \Bigl|\overrightarrow{BC}\Bigr| {{/formula}}
	152	+berechnet wird.
	153	+</p>
	154	+//Lösung//
	155	+<br>
126	126	Da {{formula}}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=0{{/formula}} gilt, wissen wir, dass {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} und {{formula}}\overrightarrow{BC}{{/formula}} senkrecht auf einander stehen. Die Punkte {{formula}}A, B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} bilden somit ein rechtwinkliges Dreieck. Die Strecken {{formula}}AB{{/formula}} und {{formula}}BC{{/formula}} sind dabei die Katheten des Dreiecks.
127	127	<br>
128	128	Da die Längen der Vektoren {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} und {{formula}}\overrightarrow{BC}{{/formula}} den Längen der Katheten des Dreiecks {{formula}}ABC{{/formula}} entsprechen, wird durch den Term {{formula}} \frac{1}{2} \cdot \Bigl|\overrightarrow{AB}\Bigr| \cdot \Bigl|\overrightarrow{BC}\Bigr| {{/formula}} der Flächeninhalt des Dreiecks {{formula}}ABC{{/formula}} berechnet.
...	...	@@ -147,6 +147,11 @@
147	147
148	148
149	149	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
	180	+//Aufgabenstellung//
	181	+ Es gibt genau einen Kreis, auf dem die Punkte {{formula}} A {{/formula}}, {{formula}} B {{/formula}} und {{formula}} C {{/formula}} liegen. Zeige, dass der Mittelpunkt dieses Kreises auf der Hypotenuse des Dreiecks {{formula}} ABC {{/formula}} liegt.
	182	+</p>
	183	+//Lösung//
	184	+<br>
150	150	Skizze:
151	151	<br>
152	152	[[image:SkizzeKreis (1).svg||width="250"]]