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Änderungen von Dokument Lösung Lineare Algebra

Zuletzt geändert von akukin am 2026/01/17 12:06
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -1,96 +1,35 @@
1 1  === Teilaufgabe a) ===
2 2  {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
3 3  {{formula}}g{{/formula}} ist parallel zur {{formula}}x_1x_3{{/formula}}-Ebene, daher nur zwei Spurpunkte:
4 -<p></p>
5 -{{formula}}S_{23}(0 \mid -2 \mid 6), \ \ S_{12}(-6 \mid -2 \mid 0){{/formula}}
4 +<br>
5 +{{formula}}S_{23}(0 \mid -2 \mid 6), \quad S_{12}(-6 \mid -2 \mid 0){{/formula}}
6 6  {{/detail}}
7 7  
8 8  
9 9  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
10 -//Aufgabenstellung//
11 -Bestimme die Koordinaten der Schnittpunkte von {{formula}} g {{/formula}} mit den Koordinatenebenen.
12 -</p>
13 -//Lösung//
14 -<br>
15 -Da die {{formula}}x_2{{/formula}}-Komponente des Richtungsvektors von {{formula}}g{{/formula}} null ist, ist {{formula}}g{{/formula}} parallel zur {{formula}}x_1x_3{{/formula}}. Daher existieren nur zwei Spurpunkte.
16 -<p></p>
17 -Den Schnittpunkt mit der {{formula}}x_2x_3{{/formula}}-Ebene erhalten wir, indem wir die erste Zeile der Geradengleichung gleich 0 setzen ({{formula}}x_1=0{{/formula}}) und nach {{formula}}r{{/formula}} auflösen:
18 -<br>
19 -{{formula}}0=-1+r\cdot 1 \ \Leftrightarrow 1=r{{/formula}}
20 -<br>
21 -Nun setzen wir {{formula}}r=1{{/formula}} in die Geradengleichung ein, um den Spurpunkt zu erhalten:
22 -<br>
23 -{{formula}}\vec{x} = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 \\-2 \\ 6 \end{pmatrix} \quad \rightarrow \ S_{23}(0 \mid -2 \mid 6){{/formula}}
24 -<p></p>
25 -Analog ergibt sich der Schnittpunkt mit der {{formula}}x_1x_2{{/formula}}-Ebene, indem wir die dritte Zeile der Geradengleichung gleich 0 setzen:
26 -<br>
27 -{{formula}}0=5+r\cdot 1 \ \Leftrightarrow -5=r{{/formula}}.
28 -<br>
29 -{{formula}}\vec{x} = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix} + (-5) \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -6 \\-2 \\ 0 \end{pmatrix} \quad \rightarrow \ S_{12}(-6 \mid -2 \mid 0){{/formula}}
30 -<p></p>
31 -Die Koordinaten der Spurpunkte lauten somit
32 -{{formula}}S_{23}(0 \mid -2 \mid 6), \ \ S_{12}(-6 \mid -2 \mid 0){{/formula}}.
10 +
33 33  {{/detail}}
34 34  
35 35  === Teilaufgabe b) ===
36 36  {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
37 -<p>
38 38  {{formula}}h: \ \vec x =\begin{pmatrix}5\\-1\\4\end{pmatrix} + r \cdot
39 39  \begin{pmatrix}-4\\2\\-4
40 -\end{pmatrix}, \ r \in \mathbb{R}
17 +\end{pmatrix},
18 +; \ r \in \mathbb{R}
41 41  {{/formula}}
42 -</p>
20 +
43 43  Das LGS
44 44  {{formula}}
45 45  \begin{pmatrix}-1\\-2\\5\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\-1\\4\end{pmatrix} + r \cdot\begin{pmatrix}-4\\2\\-4\end{pmatrix}
46 46  {{/formula}}
47 47  hat keine Lösung.
48 -<br>
26 +
49 49  Die Geraden {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} sind nicht parallel, da die Richtungsvektoren keine Vielfachen sind. Somit sind die Geraden windschief.
50 50  {{/detail}}
51 51  
52 52  
53 53  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
54 -//Aufgabenstellung//
55 -{{formula}} h {{/formula}} ist die Gerade durch {{formula}} A {{/formula}} und {{formula}} B {{/formula}}.
56 -Zeige, dass {{formula}} g {{/formula}} und {{formula}} h {{/formula}} zueinander windschief sind.
57 -</p>
58 -//Lösung//
59 -<br>
60 -Die Gleichung der Geraden {{formula}}h{{/formula}} stellen wir auf, indem wir einen der beiden Punkte, hier {{formula}}A{{/formula}}, als Stützvektor verwenden und als Richtungsvektor den Verbindungsvektor der Punkte {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}B{{/formula}}.
61 -<br>
62 -{{formula}}
63 -\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5\\-1\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\2\\-4\end{pmatrix}
64 -{{/formula}}
65 -<p></p>
66 -Somit:
67 -<br>
68 -{{formula}}h: \ \vec x =\begin{pmatrix}5\\-1\\4\end{pmatrix} + r \cdot
69 -\begin{pmatrix}-4\\2\\-4
70 -\end{pmatrix}, \ r \in \mathbb{R}
71 -{{/formula}}
72 -<p></p>
73 -Wir setzen die beiden Geraden gleich
74 -<br>
75 -{{formula}}
76 -\begin{pmatrix}-1\\-2\\5\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\-1\\4\end{pmatrix} + r \cdot\begin{pmatrix}-4\\2\\-4\end{pmatrix}
77 -{{/formula}}
78 -<br>
79 -und erhalten dadurch das LGS
80 -<br>
81 -{{formula}}
82 -\begin{array}{rll}
83 --1 + s = 5 - 4r & \quad \Leftrightarrow \quad & (1) \ s + 4r = 6 \\
84 --2 = -1 + 2r & \quad \Leftrightarrow \quad & (2) \ -2r = 1 \\
85 -5 + s = 4 - 4r & \quad \Leftrightarrow \quad & (3) \ s + 4r = -1
86 -\end{array}
87 -{{/formula}}
88 -<br>
89 -Addieren von Zeile {{formula}}(1){{/formula}} und {{formula}}(2){{/formula}} führt zu der falschen Aussage {{formula}}0=5{{/formula}}.
90 -<br>
91 -Das LGS hat somit keine Lösung und die beiden Geraden besitzen keinen Schnittpunkt.
92 -<br>
93 -Die Geraden {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} sind zudem nicht parallel, da die Richtungsvektoren keine Vielfachen sind. Somit sind die Geraden windschief.
32 +
94 94  {{/detail}}
95 95  
96 96  === Teilaufgabe c) ===
... ... @@ -104,37 +104,7 @@
104 104  
105 105  
106 106  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
107 -//Aufgabenstellung//
108 -Gib eine Gleichung einer Ebene an, die parallel zur {{formula}} x_{1}x_{3} {{/formula}}-Ebene ist und von {{formula}} C {{/formula}} den Abstand {{formula}} 2 {{/formula}} hat.
109 -</p>
110 -//Lösung//
111 -<br>
112 -Damit die Ebene parallel zur {{formula}}x_1x_3{{/formula}}- Ebene ist, muss ein Richtungsvektor parallel zur {{formula}}x_1{{/formula}}-Achse sein und der andere zur {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse.
113 -<br>
114 -Das heißt, wir verwenden die Richtungsvektoren {{formula}}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}{{/formula}} und {{formula}}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}{{/formula}} (oder Vielfache davon).
115 -<p></p>
116 -Damit die Ebene von {{formula}}C{{/formula}} den Abstand {{formula}}2{{/formula}} hat, wählen wir, ausgehend vom Punkt {{formula}}C(0|3|2){{/formula}}, als Stützvektor entweder {{formula}}\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}{{/formula}} oder {{formula}}\begin{pmatrix}0\\5\\2\end{pmatrix}{{/formula}}, damit die Differenz der {{formula}}x_2{{/formula}}-Koordinaten {{formula}}2{{/formula}} ist.
117 -<p></p>
118 -Somit ist eine mögliche Lösung
119 -<br>
120 -{{formula}}E: \ \vec x =
121 -\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}+ r \cdot
122 -\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} + s \cdot
123 -\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}; \ r, s \in \mathbb{R}
124 -{{/formula}}
125 -<br>
126 -Eine weitere Lösung wäre
127 -<br>
128 -{{formula}}E_2: \ \vec x =
129 -\begin{pmatrix}0\\5\\2\end{pmatrix}+ r \cdot
130 -\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} + s \cdot
131 -\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}; \ r, s \in \mathbb{R}
132 -{{/formula}}
133 -
134 -<div style="height: 30px;"></div>
135 -Alternativ lautet die Ebenengleichung in der Koordinatenform entweder
136 -<br>
137 -{{formula}}E: x_2=1{{/formula}} oder {{formula}}E_2: x_2=5{{/formula}}.
46 +
138 138  {{/detail}}
139 139  
140 140  === Teilaufgabe d) ===
... ... @@ -144,18 +144,7 @@
144 144  
145 145  
146 146  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
147 -//Aufgabenstellung//
148 -Es gilt: {{formula}} \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = 0 {{/formula}}.
149 -<br>
150 -Erläutere, welche geometrische Größe durch den Term
151 -{{formula}} \frac{1}{2} \cdot \Bigl|\overrightarrow{AB}\Bigr| \cdot \Bigl|\overrightarrow{BC}\Bigr| {{/formula}}
152 -berechnet wird.
153 -</p>
154 -//Lösung//
155 -<br>
156 -Da {{formula}}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=0{{/formula}} gilt, wissen wir, dass {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} und {{formula}}\overrightarrow{BC}{{/formula}} senkrecht auf einander stehen. Die Punkte {{formula}}A, B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} bilden somit ein rechtwinkliges Dreieck. Die Strecken {{formula}}AB{{/formula}} und {{formula}}BC{{/formula}} sind dabei die Katheten des Dreiecks.
157 -<br>
158 -Da die Längen der Vektoren {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} und {{formula}}\overrightarrow{BC}{{/formula}} den Längen der Katheten des Dreiecks {{formula}}ABC{{/formula}} entsprechen, wird durch den Term {{formula}} \frac{1}{2} \cdot \Bigl|\overrightarrow{AB}\Bigr| \cdot \Bigl|\overrightarrow{BC}\Bigr| {{/formula}} der Flächeninhalt des Dreiecks {{formula}}ABC{{/formula}} berechnet.
56 +
159 159  {{/detail}}
160 160  
161 161  === Teilaufgabe e) ===
... ... @@ -165,7 +165,7 @@
165 165  {{formula}}
166 166  \overrightarrow{OM}= \overrightarrow{OA}+\frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{AC}=
167 167  \begin{pmatrix}2{,}5\\1\\3\end{pmatrix}, \
168 -\Bigl| \overrightarrow{AM} \Bigr|= \Bigl| \overrightarrow{MB} \Bigr|=\Bigl| \overrightarrow{CM} \Bigr|=\sqrt{11{,}25}
66 +\bigl| \overrightarrow{AM} \bigr|+ \bigl| \overrightarrow{MB} \bigr|+\bigl| \overrightarrow{CM} \bigr|=\sqrt{11{,}25}
169 169  {{/formula}}
170 170  <p>
171 171  Somit haben alle drei Punkte den gleichen Abstand vom Mittelpunkt der Hypotenuse {{formula}}AC{{/formula}}.
... ... @@ -177,37 +177,5 @@
177 177  
178 178  
179 179  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
180 -//Aufgabenstellung//
181 - Es gibt genau einen Kreis, auf dem die Punkte {{formula}} A {{/formula}}, {{formula}} B {{/formula}} und {{formula}} C {{/formula}} liegen. Zeige, dass der Mittelpunkt dieses Kreises auf der Hypotenuse des Dreiecks {{formula}} ABC {{/formula}} liegt.
182 -</p>
183 -//Lösung//
184 -<br>
185 -Skizze:
186 -<br>
187 -[[image:SkizzeKreis (1).svg||width="250"]]
188 -<br>
189 -Aus der vorherigen Teilaufgabe wissen wir, dass {{formula}}AC{{/formula}} die Hypotenuse des Dreieckes ist. Auf der Hypotenuse {{formula}}AC{{/formula}} hat nur ihr Mittelpunkt {{formula}}M{{/formula}} denselben Abstand von {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}}.
190 -<br>
191 -Den Mittelpunkt {{formula}}M{{/formula}} der Strecke {{formula}}AC{{/formula}} erhalten wir durch
192 -<br>
193 -{{formula}}
194 -\overrightarrow{OM}= \overrightarrow{OA}+\frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}5\\-1\\4\end{pmatrix}+\frac{1}{2}\cdot \begin{pmatrix}-5\\4\\-2\end{pmatrix} =
195 -\begin{pmatrix}2{,}5\\1\\3\end{pmatrix}
196 -{{/formula}}
197 -<p></p>
198 -Nun müssen wir prüfen, dass der berechnete Mittelpunkt von den Punkten {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} jeweils den selben Abstand besitzt:
199 -<br>
200 -{{formula}}
201 -\begin{align*}
202 -&\Bigl| \overrightarrow{AM} \Bigr| =\left| \begin{pmatrix}-2,5\\2\\-1\end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-2,5)^2+2^2+(-1)^2} =\sqrt{11{,}25} \\
203 -&\Bigl| \overrightarrow{MB} \Bigr| =\left| \begin{pmatrix}-1,5\\0\\3\end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-1,5)^2+0^2+3^2} =\sqrt{11{,}25}\\
204 -&\Bigl| \overrightarrow{CM} \Bigr|=\left| \begin{pmatrix}2,5\\-2\\1\end{pmatrix}\right|=\sqrt{2,5^2+(-2)^2+1^2} =\sqrt{11{,}25} \\
205 -\end{align*}
206 -{{/formula}}
207 -<p>
208 -Somit haben alle drei Punkte den gleichen Abstand vom Mittelpunkt der Hypotenuse {{formula}}AC{{/formula}}.
209 -Sie liegen deshalb auf einem Kreis mit diesem Punkt als Mittelpunkt.
210 -</p>
211 -Hinweis:
212 -Eine Argumentation mit dem Thaleskreis ist ebenso zulässig.
78 +
213 213  {{/detail}}
SkizzeKreis (1).svg
Author
... ... @@ -1,1 +1,0 @@
1 -XWiki.akukin
Größe
... ... @@ -1,1 +1,0 @@
1 -7.8 KB
Inhalt
... ... @@ -1,1 +1,0 @@
1 -<svg version="1.1" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="562" height="558"><defs><clipPath id="fwrlIlnFlkyZ"><path fill="none" stroke="none" d=" M 0 0 L 562 0 L 562 558 L 0 558 L 0 0 Z"/></clipPath></defs><g transform="scale(1,1)" clip-path="url(#fwrlIlnFlkyZ)"><g><rect fill="rgb(255,255,255)" stroke="none" x="0" y="0" width="562" height="558" fill-opacity="1"/><path fill="none" stroke="rgb(0,0,0)" paint-order="fill stroke markers" d=" M 486.78975246059804 263.5558029039587 C 486.78975246059804 374.44807012479384 396.8938080663022 464.3440145190899 286.0015408454674 464.3440145190899 C 175.10927362463258 464.3440145190899 85.21332923033677 374.44807012479384 85.21332923033677 263.5558029039587 C 85.21332923033677 152.66353568312354 175.10927362463258 62.76759128882745 286.0015408454674 62.76759128882745 C 396.8938080663022 62.76759128882745 486.78975246059804 152.66353568312354 486.78975246059804 263.5558029039587 Z" 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