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Änderungen von Dokument Lösung Lineare Algebra

Zuletzt geändert von akukin am 2026/01/17 12:06
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -7,12 +7,7 @@
7 7  
8 8  
9 9  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
10 -//Aufgabenstellung//
11 -Bestimme die Koordinaten der Schnittpunkte von {{formula}} g {{/formula}} mit den Koordinatenebenen.
12 -</p>
13 -//Lösung//
14 -<br>
15 -Da die {{formula}}x_2{{/formula}}-Komponente des Richtungsvektors von {{formula}}g{{/formula}} null ist, ist {{formula}}g{{/formula}} parallel zur {{formula}}x_1x_3{{/formula}}. Daher existieren nur zwei Spurpunkte.
10 +Da die {{formula}}x_2{{/formula}}-Komponente des Richtungsvektors von {{formula}}g{{/formula}} 0 ist, ist {{formula}}g{{/formula}} parallel zur {{formula}}x_1x_3{{/formula}}. Daher existieren nur zwei Spurpunkte.
16 16  <p></p>
17 17  Den Schnittpunkt mit der {{formula}}x_2x_3{{/formula}}-Ebene erhalten wir, indem wir die erste Zeile der Geradengleichung gleich 0 setzen ({{formula}}x_1=0{{/formula}}) und nach {{formula}}r{{/formula}} auflösen:
18 18  <br>
... ... @@ -51,16 +51,10 @@
51 51  
52 52  
53 53  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
54 -//Aufgabenstellung//
55 -{{formula}} h {{/formula}} ist die Gerade durch {{formula}} A {{/formula}} und {{formula}} B {{/formula}}.
56 -Zeige, dass {{formula}} g {{/formula}} und {{formula}} h {{/formula}} zueinander windschief sind.
57 -</p>
58 -//Lösung//
59 -<br>
60 60  Die Gleichung der Geraden {{formula}}h{{/formula}} stellen wir auf, indem wir einen der beiden Punkte, hier {{formula}}A{{/formula}}, als Stützvektor verwenden und als Richtungsvektor den Verbindungsvektor der Punkte {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}B{{/formula}}.
61 61  <br>
62 62  {{formula}}
63 -\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5\\-1\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\2\\-4\end{pmatrix}
52 +\overline{AB}=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5\\-1\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\2\\-4\end{pmatrix}
64 64  {{/formula}}
65 65  <p></p>
66 66  Somit:
... ... @@ -104,11 +104,6 @@
104 104  
105 105  
106 106  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
107 -//Aufgabenstellung//
108 -Gib eine Gleichung einer Ebene an, die parallel zur {{formula}} x_{1}x_{3} {{/formula}}-Ebene ist und von {{formula}} C {{/formula}} den Abstand {{formula}} 2 {{/formula}} hat.
109 -</p>
110 -//Lösung//
111 -<br>
112 112  Damit die Ebene parallel zur {{formula}}x_1x_3{{/formula}}- Ebene ist, muss ein Richtungsvektor parallel zur {{formula}}x_1{{/formula}}-Achse sein und der andere zur {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse.
113 113  <br>
114 114  Das heißt, wir verwenden die Richtungsvektoren {{formula}}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}{{/formula}} und {{formula}}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}{{/formula}} (oder Vielfache davon).
... ... @@ -125,16 +125,11 @@
125 125  <br>
126 126  Eine weitere Lösung wäre
127 127  <br>
128 -{{formula}}E_2: \ \vec x =
112 +{{formula}}E: \ \vec x =
129 129  \begin{pmatrix}0\\5\\2\end{pmatrix}+ r \cdot
130 130  \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} + s \cdot
131 131  \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}; \ r, s \in \mathbb{R}
132 132  {{/formula}}
133 -
134 -<div style="height: 30px;"></div>
135 -Alternativ lautet die Ebenengleichung in der Koordinatenform entweder
136 -<br>
137 -{{formula}}E: x_2=1{{/formula}} oder {{formula}}E_2: x_2=5{{/formula}}.
138 138  {{/detail}}
139 139  
140 140  === Teilaufgabe d) ===
... ... @@ -144,15 +144,6 @@
144 144  
145 145  
146 146  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
147 -//Aufgabenstellung//
148 -Es gilt: {{formula}} \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = 0 {{/formula}}.
149 -<br>
150 -Erläutere, welche geometrische Größe durch den Term
151 -{{formula}} \frac{1}{2} \cdot \Bigl|\overrightarrow{AB}\Bigr| \cdot \Bigl|\overrightarrow{BC}\Bigr| {{/formula}}
152 -berechnet wird.
153 -</p>
154 -//Lösung//
155 -<br>
156 156  Da {{formula}}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=0{{/formula}} gilt, wissen wir, dass {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} und {{formula}}\overrightarrow{BC}{{/formula}} senkrecht auf einander stehen. Die Punkte {{formula}}A, B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} bilden somit ein rechtwinkliges Dreieck. Die Strecken {{formula}}AB{{/formula}} und {{formula}}BC{{/formula}} sind dabei die Katheten des Dreiecks.
157 157  <br>
158 158  Da die Längen der Vektoren {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} und {{formula}}\overrightarrow{BC}{{/formula}} den Längen der Katheten des Dreiecks {{formula}}ABC{{/formula}} entsprechen, wird durch den Term {{formula}} \frac{1}{2} \cdot \Bigl|\overrightarrow{AB}\Bigr| \cdot \Bigl|\overrightarrow{BC}\Bigr| {{/formula}} der Flächeninhalt des Dreiecks {{formula}}ABC{{/formula}} berechnet.
... ... @@ -165,7 +165,7 @@
165 165  {{formula}}
166 166  \overrightarrow{OM}= \overrightarrow{OA}+\frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{AC}=
167 167  \begin{pmatrix}2{,}5\\1\\3\end{pmatrix}, \
168 -\Bigl| \overrightarrow{AM} \Bigr|= \Bigl| \overrightarrow{MB} \Bigr|=\Bigl| \overrightarrow{CM} \Bigr|=\sqrt{11{,}25}
138 +\Bigl| \overrightarrow{AM} \Bigr|+ \Bigl| \overrightarrow{MB} \Bigr|+\Bigl| \overrightarrow{CM} \Bigr|=\sqrt{11{,}25}
169 169  {{/formula}}
170 170  <p>
171 171  Somit haben alle drei Punkte den gleichen Abstand vom Mittelpunkt der Hypotenuse {{formula}}AC{{/formula}}.
... ... @@ -177,37 +177,5 @@
177 177  
178 178  
179 179  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
180 -//Aufgabenstellung//
181 - Es gibt genau einen Kreis, auf dem die Punkte {{formula}} A {{/formula}}, {{formula}} B {{/formula}} und {{formula}} C {{/formula}} liegen. Zeige, dass der Mittelpunkt dieses Kreises auf der Hypotenuse des Dreiecks {{formula}} ABC {{/formula}} liegt.
182 -</p>
183 -//Lösung//
184 -<br>
185 -Skizze:
186 -<br>
187 -[[image:SkizzeKreis (1).svg||width="250"]]
188 -<br>
189 -Aus der vorherigen Teilaufgabe wissen wir, dass {{formula}}AC{{/formula}} die Hypotenuse des Dreieckes ist. Auf der Hypotenuse {{formula}}AC{{/formula}} hat nur ihr Mittelpunkt {{formula}}M{{/formula}} denselben Abstand von {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}}.
190 -<br>
191 -Den Mittelpunkt {{formula}}M{{/formula}} der Strecke {{formula}}AC{{/formula}} erhalten wir durch
192 -<br>
193 -{{formula}}
194 -\overrightarrow{OM}= \overrightarrow{OA}+\frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}5\\-1\\4\end{pmatrix}+\frac{1}{2}\cdot \begin{pmatrix}-5\\4\\-2\end{pmatrix} =
195 -\begin{pmatrix}2{,}5\\1\\3\end{pmatrix}
196 -{{/formula}}
197 -<p></p>
198 -Nun müssen wir prüfen, dass der berechnete Mittelpunkt von den Punkten {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} jeweils den selben Abstand besitzt:
199 -<br>
200 -{{formula}}
201 -\begin{align*}
202 -&\Bigl| \overrightarrow{AM} \Bigr| =\left| \begin{pmatrix}-2,5\\2\\-1\end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-2,5)^2+2^2+(-1)^2} =\sqrt{11{,}25} \\
203 -&\Bigl| \overrightarrow{MB} \Bigr| =\left| \begin{pmatrix}-1,5\\0\\3\end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-1,5)^2+0^2+3^2} =\sqrt{11{,}25}\\
204 -&\Bigl| \overrightarrow{CM} \Bigr|=\left| \begin{pmatrix}2,5\\-2\\1\end{pmatrix}\right|=\sqrt{2,5^2+(-2)^2+1^2} =\sqrt{11{,}25} \\
205 -\end{align*}
206 -{{/formula}}
207 -<p>
208 -Somit haben alle drei Punkte den gleichen Abstand vom Mittelpunkt der Hypotenuse {{formula}}AC{{/formula}}.
209 -Sie liegen deshalb auf einem Kreis mit diesem Punkt als Mittelpunkt.
210 -</p>
211 -Hinweis:
212 -Eine Argumentation mit dem Thaleskreis ist ebenso zulässig.
150 +
213 213  {{/detail}}