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Änderungen von Dokument Lösung Lineare Algebra

Zuletzt geändert von akukin am 2026/01/17 12:06
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -7,14 +7,7 @@
7 7  
8 8  
9 9  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
10 -<p>
11 -//Aufgabenstellung//
12 -<br>
13 -Bestimme die Koordinaten der Schnittpunkte von {{formula}} g {{/formula}} mit den Koordinatenebenen.
14 -</p>
15 -//Lösung//
16 -<br>
17 -Da die {{formula}}x_2{{/formula}}-Komponente des Richtungsvektors von {{formula}}g{{/formula}} null ist, ist {{formula}}g{{/formula}} parallel zur {{formula}}x_1x_3{{/formula}}. Daher existieren nur zwei Spurpunkte.
10 +Da die {{formula}}x_2{{/formula}}-Komponente des Richtungsvektors von {{formula}}g{{/formula}} 0 ist, ist {{formula}}g{{/formula}} parallel zur {{formula}}x_1x_3{{/formula}}. Daher existieren nur zwei Spurpunkte.
18 18  <p></p>
19 19  Den Schnittpunkt mit der {{formula}}x_2x_3{{/formula}}-Ebene erhalten wir, indem wir die erste Zeile der Geradengleichung gleich 0 setzen ({{formula}}x_1=0{{/formula}}) und nach {{formula}}r{{/formula}} auflösen:
20 20  <br>
... ... @@ -53,18 +53,10 @@
53 53  
54 54  
55 55  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
56 -<p>
57 -//Aufgabenstellung//
58 -<br>
59 -{{formula}} h {{/formula}} ist die Gerade durch {{formula}} A {{/formula}} und {{formula}} B {{/formula}}.
60 -Zeige, dass {{formula}} g {{/formula}} und {{formula}} h {{/formula}} zueinander windschief sind.
61 -</p>
62 -//Lösung//
63 -<br>
64 64  Die Gleichung der Geraden {{formula}}h{{/formula}} stellen wir auf, indem wir einen der beiden Punkte, hier {{formula}}A{{/formula}}, als Stützvektor verwenden und als Richtungsvektor den Verbindungsvektor der Punkte {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}B{{/formula}}.
65 65  <br>
66 66  {{formula}}
67 -\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5\\-1\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\2\\-4\end{pmatrix}
52 +\overline{AB}=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5\\-1\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\2\\-4\end{pmatrix}
68 68  {{/formula}}
69 69  <p></p>
70 70  Somit:
... ... @@ -108,13 +108,6 @@
108 108  
109 109  
110 110  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
111 -<p>
112 -//Aufgabenstellung//
113 -<br>
114 -Gib eine Gleichung einer Ebene an, die parallel zur {{formula}} x_{1}x_{3} {{/formula}}-Ebene ist und von {{formula}} C {{/formula}} den Abstand {{formula}} 2 {{/formula}} hat.
115 -</p>
116 -//Lösung//
117 -<br>
118 118  Damit die Ebene parallel zur {{formula}}x_1x_3{{/formula}}- Ebene ist, muss ein Richtungsvektor parallel zur {{formula}}x_1{{/formula}}-Achse sein und der andere zur {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse.
119 119  <br>
120 120  Das heißt, wir verwenden die Richtungsvektoren {{formula}}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}{{/formula}} und {{formula}}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}{{/formula}} (oder Vielfache davon).
... ... @@ -131,16 +131,11 @@
131 131  <br>
132 132  Eine weitere Lösung wäre
133 133  <br>
134 -{{formula}}E_2: \ \vec x =
112 +{{formula}}E: \ \vec x =
135 135  \begin{pmatrix}0\\5\\2\end{pmatrix}+ r \cdot
136 136  \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} + s \cdot
137 137  \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}; \ r, s \in \mathbb{R}
138 138  {{/formula}}
139 -
140 -<div style="height: 30px;"></div>
141 -Alternativ lautet die Ebenengleichung in der Koordinatenform entweder
142 -<br>
143 -{{formula}}E: x_2=1{{/formula}} oder {{formula}}E_2: x_2=5{{/formula}}.
144 144  {{/detail}}
145 145  
146 146  === Teilaufgabe d) ===
... ... @@ -150,17 +150,6 @@
150 150  
151 151  
152 152  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
153 -<p>
154 -//Aufgabenstellung//
155 -<br>
156 -Es gilt: {{formula}} \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = 0 {{/formula}}.
157 -<br>
158 -Erläutere, welche geometrische Größe durch den Term
159 -{{formula}} \frac{1}{2} \cdot \Bigl|\overrightarrow{AB}\Bigr| \cdot \Bigl|\overrightarrow{BC}\Bigr| {{/formula}}
160 -berechnet wird.
161 -</p>
162 -//Lösung//
163 -<br>
164 164  Da {{formula}}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=0{{/formula}} gilt, wissen wir, dass {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} und {{formula}}\overrightarrow{BC}{{/formula}} senkrecht auf einander stehen. Die Punkte {{formula}}A, B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} bilden somit ein rechtwinkliges Dreieck. Die Strecken {{formula}}AB{{/formula}} und {{formula}}BC{{/formula}} sind dabei die Katheten des Dreiecks.
165 165  <br>
166 166  Da die Längen der Vektoren {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} und {{formula}}\overrightarrow{BC}{{/formula}} den Längen der Katheten des Dreiecks {{formula}}ABC{{/formula}} entsprechen, wird durch den Term {{formula}} \frac{1}{2} \cdot \Bigl|\overrightarrow{AB}\Bigr| \cdot \Bigl|\overrightarrow{BC}\Bigr| {{/formula}} der Flächeninhalt des Dreiecks {{formula}}ABC{{/formula}} berechnet.
... ... @@ -173,7 +173,7 @@
173 173  {{formula}}
174 174  \overrightarrow{OM}= \overrightarrow{OA}+\frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{AC}=
175 175  \begin{pmatrix}2{,}5\\1\\3\end{pmatrix}, \
176 -\Bigl| \overrightarrow{AM} \Bigr|= \Bigl| \overrightarrow{MB} \Bigr|=\Bigl| \overrightarrow{CM} \Bigr|=\sqrt{11{,}25}
138 +\Bigl| \overrightarrow{AM} \Bigr|+ \Bigl| \overrightarrow{MB} \Bigr|+\Bigl| \overrightarrow{CM} \Bigr|=\sqrt{11{,}25}
177 177  {{/formula}}
178 178  <p>
179 179  Somit haben alle drei Punkte den gleichen Abstand vom Mittelpunkt der Hypotenuse {{formula}}AC{{/formula}}.
... ... @@ -185,39 +185,5 @@
185 185  
186 186  
187 187  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
188 -<p>
189 -//Aufgabenstellung//
190 -<br>
191 - Es gibt genau einen Kreis, auf dem die Punkte {{formula}} A {{/formula}}, {{formula}} B {{/formula}} und {{formula}} C {{/formula}} liegen. Zeige, dass der Mittelpunkt dieses Kreises auf der Hypotenuse des Dreiecks {{formula}} ABC {{/formula}} liegt.
192 -</p>
193 -//Lösung//
194 -<br>
195 -Skizze:
196 -<br>
197 -[[image:SkizzeKreis (1).svg||width="250"]]
198 -<br>
199 -Aus der vorherigen Teilaufgabe wissen wir, dass {{formula}}AC{{/formula}} die Hypotenuse des Dreieckes ist. Auf der Hypotenuse {{formula}}AC{{/formula}} hat nur ihr Mittelpunkt {{formula}}M{{/formula}} denselben Abstand von {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}}.
200 -<br>
201 -Den Mittelpunkt {{formula}}M{{/formula}} der Strecke {{formula}}AC{{/formula}} erhalten wir durch
202 -<br>
203 -{{formula}}
204 -\overrightarrow{OM}= \overrightarrow{OA}+\frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}5\\-1\\4\end{pmatrix}+\frac{1}{2}\cdot \begin{pmatrix}-5\\4\\-2\end{pmatrix} =
205 -\begin{pmatrix}2{,}5\\1\\3\end{pmatrix}
206 -{{/formula}}
207 -<p></p>
208 -Nun müssen wir prüfen, dass der berechnete Mittelpunkt von den Punkten {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} jeweils den selben Abstand besitzt:
209 -<br>
210 -{{formula}}
211 -\begin{align*}
212 -&\Bigl| \overrightarrow{AM} \Bigr| =\left| \begin{pmatrix}-2,5\\2\\-1\end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-2,5)^2+2^2+(-1)^2} =\sqrt{11{,}25} \\
213 -&\Bigl| \overrightarrow{MB} \Bigr| =\left| \begin{pmatrix}-1,5\\0\\3\end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-1,5)^2+0^2+3^2} =\sqrt{11{,}25}\\
214 -&\Bigl| \overrightarrow{CM} \Bigr|=\left| \begin{pmatrix}2,5\\-2\\1\end{pmatrix}\right|=\sqrt{2,5^2+(-2)^2+1^2} =\sqrt{11{,}25} \\
215 -\end{align*}
216 -{{/formula}}
217 -<p>
218 -Somit haben alle drei Punkte den gleichen Abstand vom Mittelpunkt der Hypotenuse {{formula}}AC{{/formula}}.
219 -Sie liegen deshalb auf einem Kreis mit diesem Punkt als Mittelpunkt.
220 -</p>
221 -Hinweis:
222 -Eine Argumentation mit dem Thaleskreis ist ebenso zulässig.
150 +
223 223  {{/detail}}