Änderungen von Dokument Lösung Lineare Algebra
Zuletzt geändert von akukin am 2026/01/17 12:06
Zusammenfassung
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Details
- Seiteneigenschaften
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- Inhalt
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... ... @@ -7,14 +7,7 @@ 7 7 8 8 9 9 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 10 -<p> 11 -//Aufgabenstellung// 12 -<br> 13 -Bestimme die Koordinaten der Schnittpunkte von {{formula}} g {{/formula}} mit den Koordinatenebenen. 14 -</p> 15 -//Lösung// 16 -<br> 17 -Da die {{formula}}x_2{{/formula}}-Komponente des Richtungsvektors von {{formula}}g{{/formula}} null ist, ist {{formula}}g{{/formula}} parallel zur {{formula}}x_1x_3{{/formula}}. Daher existieren nur zwei Spurpunkte. 10 +Da die {{formula}}x_2{{/formula}}-Komponente des Richtungsvektors von {{formula}}g{{/formula}} 0 ist, ist {{formula}}g{{/formula}} parallel zur {{formula}}x_1x_3{{/formula}}. Daher existieren nur zwei Spurpunkte. 18 18 <p></p> 19 19 Den Schnittpunkt mit der {{formula}}x_2x_3{{/formula}}-Ebene erhalten wir, indem wir die erste Zeile der Geradengleichung gleich 0 setzen ({{formula}}x_1=0{{/formula}}) und nach {{formula}}r{{/formula}} auflösen: 20 20 <br> ... ... @@ -53,18 +53,10 @@ 53 53 54 54 55 55 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 56 -<p> 57 -//Aufgabenstellung// 58 -<br> 59 -{{formula}} h {{/formula}} ist die Gerade durch {{formula}} A {{/formula}} und {{formula}} B {{/formula}}. 60 -Zeige, dass {{formula}} g {{/formula}} und {{formula}} h {{/formula}} zueinander windschief sind. 61 -</p> 62 -//Lösung// 63 -<br> 64 64 Die Gleichung der Geraden {{formula}}h{{/formula}} stellen wir auf, indem wir einen der beiden Punkte, hier {{formula}}A{{/formula}}, als Stützvektor verwenden und als Richtungsvektor den Verbindungsvektor der Punkte {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}B{{/formula}}. 65 65 <br> 66 66 {{formula}} 67 -\over rightarrow{AB}=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5\\-1\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\2\\-4\end{pmatrix}52 +\overline{AB}=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5\\-1\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\2\\-4\end{pmatrix} 68 68 {{/formula}} 69 69 <p></p> 70 70 Somit: ... ... @@ -90,7 +90,7 @@ 90 90 \end{array} 91 91 {{/formula}} 92 92 <br> 93 - Subtrahiertman Zeile {{formula}}(3){{/formula}}vonZeile{{formula}}(1){{/formula}},so erhältmandie falsche Aussage {{formula}}0=7{{/formula}}.78 +Addieren von Zeile {{formula}}(1){{/formula}} und {{formula}}(2){{/formula}} führt zu der falschen Aussage {{formula}}0=5{{/formula}}. 94 94 <br> 95 95 Das LGS hat somit keine Lösung und die beiden Geraden besitzen keinen Schnittpunkt. 96 96 <br> ... ... @@ -108,13 +108,6 @@ 108 108 109 109 110 110 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 111 -<p> 112 -//Aufgabenstellung// 113 -<br> 114 -Gib eine Gleichung einer Ebene an, die parallel zur {{formula}} x_{1}x_{3} {{/formula}}-Ebene ist und von {{formula}} C {{/formula}} den Abstand {{formula}} 2 {{/formula}} hat. 115 -</p> 116 -//Lösung// 117 -<br> 118 118 Damit die Ebene parallel zur {{formula}}x_1x_3{{/formula}}- Ebene ist, muss ein Richtungsvektor parallel zur {{formula}}x_1{{/formula}}-Achse sein und der andere zur {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse. 119 119 <br> 120 120 Das heißt, wir verwenden die Richtungsvektoren {{formula}}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}{{/formula}} und {{formula}}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}{{/formula}} (oder Vielfache davon). ... ... @@ -131,16 +131,11 @@ 131 131 <br> 132 132 Eine weitere Lösung wäre 133 133 <br> 134 -{{formula}}E _2: \ \vec x =112 +{{formula}}E: \ \vec x = 135 135 \begin{pmatrix}0\\5\\2\end{pmatrix}+ r \cdot 136 136 \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} + s \cdot 137 137 \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}; \ r, s \in \mathbb{R} 138 138 {{/formula}} 139 - 140 -<div style="height: 30px;"></div> 141 -Alternativ lautet die Ebenengleichung in der Koordinatenform entweder 142 -<br> 143 -{{formula}}E: x_2=1{{/formula}} oder {{formula}}E_2: x_2=5{{/formula}}. 144 144 {{/detail}} 145 145 146 146 === Teilaufgabe d) === ... ... @@ -150,17 +150,6 @@ 150 150 151 151 152 152 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 153 -<p> 154 -//Aufgabenstellung// 155 -<br> 156 -Es gilt: {{formula}} \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = 0 {{/formula}}. 157 -<br> 158 -Erläutere, welche geometrische Größe durch den Term 159 -{{formula}} \frac{1}{2} \cdot \Bigl|\overrightarrow{AB}\Bigr| \cdot \Bigl|\overrightarrow{BC}\Bigr| {{/formula}} 160 -berechnet wird. 161 -</p> 162 -//Lösung// 163 -<br> 164 164 Da {{formula}}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=0{{/formula}} gilt, wissen wir, dass {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} und {{formula}}\overrightarrow{BC}{{/formula}} senkrecht auf einander stehen. Die Punkte {{formula}}A, B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} bilden somit ein rechtwinkliges Dreieck. Die Strecken {{formula}}AB{{/formula}} und {{formula}}BC{{/formula}} sind dabei die Katheten des Dreiecks. 165 165 <br> 166 166 Da die Längen der Vektoren {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} und {{formula}}\overrightarrow{BC}{{/formula}} den Längen der Katheten des Dreiecks {{formula}}ABC{{/formula}} entsprechen, wird durch den Term {{formula}} \frac{1}{2} \cdot \Bigl|\overrightarrow{AB}\Bigr| \cdot \Bigl|\overrightarrow{BC}\Bigr| {{/formula}} der Flächeninhalt des Dreiecks {{formula}}ABC{{/formula}} berechnet. ... ... @@ -173,7 +173,7 @@ 173 173 {{formula}} 174 174 \overrightarrow{OM}= \overrightarrow{OA}+\frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{AC}= 175 175 \begin{pmatrix}2{,}5\\1\\3\end{pmatrix}, \ 176 -\Bigl| \overrightarrow{AM} \Bigr| =\Bigl| \overrightarrow{MB} \Bigr|=\Bigl| \overrightarrow{CM} \Bigr|=\sqrt{11{,}25}138 +\Bigl| \overrightarrow{AM} \Bigr|+ \Bigl| \overrightarrow{MB} \Bigr|+\Bigl| \overrightarrow{CM} \Bigr|=\sqrt{11{,}25} 177 177 {{/formula}} 178 178 <p> 179 179 Somit haben alle drei Punkte den gleichen Abstand vom Mittelpunkt der Hypotenuse {{formula}}AC{{/formula}}. ... ... @@ -185,39 +185,5 @@ 185 185 186 186 187 187 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 188 -<p> 189 -//Aufgabenstellung// 190 -<br> 191 - Es gibt genau einen Kreis, auf dem die Punkte {{formula}} A {{/formula}}, {{formula}} B {{/formula}} und {{formula}} C {{/formula}} liegen. Zeige, dass der Mittelpunkt dieses Kreises auf der Hypotenuse des Dreiecks {{formula}} ABC {{/formula}} liegt. 192 -</p> 193 -//Lösung// 194 -<br> 195 -Skizze: 196 -<br> 197 -[[image:SkizzeKreis (1).svg||width="250"]] 198 -<br> 199 -Aus der vorherigen Teilaufgabe wissen wir, dass {{formula}}AC{{/formula}} die Hypotenuse des Dreieckes ist. Auf der Hypotenuse {{formula}}AC{{/formula}} hat nur ihr Mittelpunkt {{formula}}M{{/formula}} denselben Abstand von {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}}. 200 -<br> 201 -Den Mittelpunkt {{formula}}M{{/formula}} der Strecke {{formula}}AC{{/formula}} erhalten wir durch 202 -<br> 203 -{{formula}} 204 -\overrightarrow{OM}= \overrightarrow{OA}+\frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}5\\-1\\4\end{pmatrix}+\frac{1}{2}\cdot \begin{pmatrix}-5\\4\\-2\end{pmatrix} = 205 -\begin{pmatrix}2{,}5\\1\\3\end{pmatrix} 206 -{{/formula}} 207 -<p></p> 208 -Nun müssen wir prüfen, dass der berechnete Mittelpunkt von den Punkten {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} jeweils den selben Abstand besitzt: 209 -<br> 210 -{{formula}} 211 -\begin{align*} 212 -&\Bigl| \overrightarrow{AM} \Bigr| =\left| \begin{pmatrix}-2,5\\2\\-1\end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-2,5)^2+2^2+(-1)^2} =\sqrt{11{,}25} \\ 213 -&\Bigl| \overrightarrow{MB} \Bigr| =\left| \begin{pmatrix}-1,5\\0\\3\end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-1,5)^2+0^2+3^2} =\sqrt{11{,}25}\\ 214 -&\Bigl| \overrightarrow{CM} \Bigr|=\left| \begin{pmatrix}2,5\\-2\\1\end{pmatrix}\right|=\sqrt{2,5^2+(-2)^2+1^2} =\sqrt{11{,}25} \\ 215 -\end{align*} 216 -{{/formula}} 217 -<p> 218 -Somit haben alle drei Punkte den gleichen Abstand vom Mittelpunkt der Hypotenuse {{formula}}AC{{/formula}}. 219 -Sie liegen deshalb auf einem Kreis mit diesem Punkt als Mittelpunkt. 220 -</p> 221 -Hinweis: 222 -Eine Argumentation mit dem Thaleskreis ist ebenso zulässig. 150 + 223 223 {{/detail}}