Änderungen von Dokument Lösung Lineare Algebra

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -1,14 +1,30 @@
1	1	=== Teilaufgabe a) ===
2	2	{{detail summary="Erwartungshorizont"}}
3		-<p>
4		-{{formula}}g{{/formula}} ist parallel zur x,,1,,x,,3,,-Ebene, daher nur zwei Spurpunkte:
5		-</p>
6		-{{formula}}S_{23}(0 \mid -2 \mid 6), \quad S_{12}(-6 \mid -2 \mid 0){{/formula}}
	3	+{{formula}}g{{/formula}} ist parallel zur {{formula}}x_1x_3{{/formula}}-Ebene, daher nur zwei Spurpunkte:
	4	+<p></p>
	5	+{{formula}}S_{23}(0 \mid -2 \mid 6), \ \ S_{12}(-6 \mid -2 \mid 0){{/formula}}
7	7	{{/detail}}
8	8
9	9
10	10	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
11		-
	10	+Da die {{formula}}x_2{{/formula}}-Komponente des Richtungsvektors von {{formula}}g{{/formula}} 0 ist, ist {{formula}}g{{/formula}} parallel zur {{formula}}x_1x_3{{/formula}}. Daher existieren nur zwei Spurpunkte.
	11	+<p></p>
	12	+Den ersten Spurpunkt erhalten wir, indem wir die erste Geradenzeile gleich 0 setzen und nach {{formula}}r{{/formula}} auflösen:
	13	+<br>
	14	+{{formula}}0=-1+r\cdot 1 \ \Leftrightarrow 1=r{{/formula}}
	15	+<br>
	16	+Nun setzen wir {{formula}}r=1{{/formula}} in die Geradengleichung ein, um den Spurpunkt zu erhalten:
	17	+<br>
	18	+{{formula}}\vec{x} = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 \\-2 \\ 6 \end{pmatrix} \quad \rightarrow \ S_{23}(0 \mid -2 \mid 6){{/formula}}
	19	+<p></p>
	20	+Analog ergibt sich der zweite Spurpunkt, indem wir die dritte Geradenzeile gleich 0 setzen:
	21	+<br>
	22	+{{formula}}0=5+r\cdot 1 \ \Leftrightarrow -5=r{{/formula}}.
	23	+<br>
	24	+{{formula}}\vec{x} = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix} + (-5) \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -6 \\-2 \\ 0 \end{pmatrix} \quad \rightarrow \ S_{12}(-6 \mid -2 \mid 0){{/formula}}
	25	+<p></p>
	26	+Die Koordinaten der Spurpunkte lauten somit
	27	+{{formula}}S_{23}(0 \mid -2 \mid 6), \ \ S_{12}(-6 \mid -2 \mid 0){{/formula}}.
12	12	{{/detail}}
13	13
14	14	=== Teilaufgabe b) ===
...	...	@@ -30,7 +30,40 @@
30	30
31	31
32	32	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
33		-
	49	+Die Gleichung der Geraden {{formula}}h{{/formula}} stellen wir auf, indem wir einen der beiden Punkte, hier {{formula}}A{{/formula}}, als Stützvektor verwenden und als Richtungsvektor den Verbindungsvektor der Punkte {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}B{{/formula}}.
	50	+<br>
	51	+{{formula}}
	52	+\overline{AB}=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5\\-1\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\2\\-4\end{pmatrix}
	53	+{{/formula}}
	54	+<p></p>
	55	+Somit:
	56	+<br>
	57	+{{formula}}h: \ \vec x =\begin{pmatrix}5\\-1\\4\end{pmatrix} + r \cdot
	58	+\begin{pmatrix}-4\\2\\-4
	59	+\end{pmatrix}, \ r \in \mathbb{R}
	60	+{{/formula}}
	61	+<p></p>
	62	+Wir setzen die beiden Geraden gleich
	63	+<br>
	64	+{{formula}}
	65	+\begin{pmatrix}-1\\-2\\5\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\-1\\4\end{pmatrix} + r \cdot\begin{pmatrix}-4\\2\\-4\end{pmatrix}
	66	+{{/formula}}
	67	+<br>
	68	+und erhalten dadurch das LGS
	69	+<br>
	70	+{{formula}}
	71	+\begin{array}{rll}
	72	+-1 + s = 5 - 4r & \quad \Leftrightarrow \quad & (1) \ s + 4r = 6 \\
	73	+-2 = -1 + 2r & \quad \Leftrightarrow \quad & (2) \ -2r = 1 \\
	74	+5 + s = 4 - 4r & \quad \Leftrightarrow \quad & (3) \ s + 4r = -1
	75	+\end{array}
	76	+{{/formula}}
	77	+<br>
	78	+Addieren von Zeile {{formula}}(1){{/formula}} und {{formula}}(2){{/formula}} führt zu der falschen Aussage {{formula}}0=5{{/formula}}.
	79	+<br>
	80	+Das LGS hat somit keine Lösung und die beiden Geraden besitzen keinen Schnittpunkt.
	81	+<br>
	82	+Die Geraden {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} sind zudem nicht parallel, da die Richtungsvektoren keine Vielfachen sind. Somit sind die Geraden windschief.
34	34	{{/detail}}
35	35
36	36	=== Teilaufgabe c) ===