Änderungen von Dokument Lösung Lineare Algebra

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -1,46 +1,29 @@
1	1	=== Teilaufgabe a) ===
2	2	{{detail summary="Erwartungshorizont"}}
3	3	{{formula}}g{{/formula}} ist parallel zur {{formula}}x_1x_3{{/formula}}-Ebene, daher nur zwei Spurpunkte:
4		-<p></p>
	4	+<br>
5	5	{{formula}}S_{23}(0 \mid -2 \mid 6), \quad S_{12}(-6 \mid -2 \mid 0){{/formula}}
6	6	{{/detail}}
7	7
8	8
9	9	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
10		-Da die {{formula}}x_2{{/formula}}-Komponente des Richtungsvektors von {{formula}}g{{/formula}} 0 ist, ist {{formula}}g{{/formula}} parallel zur {{formula}}x_1x_3{{/formula}}. Daher existieren nur zwei Spurpunkte.
11		-<p></p>
12		-Den ersten Spurpunkt erhalten wir, indem wir die erste Geradenzeile gleich 0 setzen und nach {{formula}}r{{/formula}} auflösen:
13		-<br>
14		-{{formula}}0=-1+r\cdot 1 \ \Leftrightarrow 1=r{{/formula}}
15		-<br>
16		-Nun setzen wir {{formula}}r=1{{/formula}} in die Geradengleichung ein, um den Spurpunkt zu erhalten:
17		-<br>
18		-{{formula}}\vec{x} = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 \\-2 \\ 6 \end{pmatrix} \quad \rightarrow \ S_{23}(0 \mid -2 \mid 6){{/formula}}
19		-<p></p>
20		-Analog ergibt sich der zweite Spurpunkt, indem wir die dritte Geradenzeile gleich 0 setzen:
21		-<br>
22		-{{formula}}0=5+r\cdot 1 \ \Leftrightarrow -5=r{{/formula}}.
23		-<br>
24		-{{formula}}\vec{x} = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix} + (-5) \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -6 \\-2 \\ 0 \end{pmatrix} \quad \rightarrow \ S_{12}(-6 \mid -2 \mid 0){{/formula}}
25		-<p></p>
26		-Die Koordinaten der Spurpunkte lauten somit
27		-{{formula}}S_{23}(0 \mid -2 \mid 6), \quad S_{12}(-6 \mid -2 \mid 0){{/formula}},
	10	+
28	28	{{/detail}}
29	29
30	30	=== Teilaufgabe b) ===
31	31	{{detail summary="Erwartungshorizont"}}
32		-<p>
33	33	{{formula}}h: \ \vec x =\begin{pmatrix}5\\-1\\4\end{pmatrix} + r \cdot
34	34	\begin{pmatrix}-4\\2\\-4
35		-\end{pmatrix}, \ r \in \mathbb{R}
	17	+\end{pmatrix},
	18	+; \ r \in \mathbb{R}
36	36	{{/formula}}
37		-</p>
	20	+
38	38	Das LGS
39	39	{{formula}}
40	40	\begin{pmatrix}-1\\-2\\5\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\-1\\4\end{pmatrix} + r \cdot\begin{pmatrix}-4\\2\\-4\end{pmatrix}
41	41	{{/formula}}
42	42	hat keine Lösung.
43		-<br>
	26	+
44	44	Die Geraden {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} sind nicht parallel, da die Richtungsvektoren keine Vielfachen sind. Somit sind die Geraden windschief.
45	45	{{/detail}}
46	46
...	...	@@ -80,7 +80,7 @@
80	80	{{formula}}
81	81	\overrightarrow{OM}= \overrightarrow{OA}+\frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{AC}=
82	82	\begin{pmatrix}2{,}5\\1\\3\end{pmatrix}, \
83		-\Bigl| \overrightarrow{AM} \Bigr|+ \Bigl| \overrightarrow{MB} \Bigr|+\Bigl| \overrightarrow{CM} \Bigr|=\sqrt{11{,}25}
	66	+\bigl| \overrightarrow{AM} \bigr|+ \bigl| \overrightarrow{MB} \bigr|+\bigl| \overrightarrow{CM} \bigr|=\sqrt{11{,}25}
84	84	{{/formula}}
85	85	<p>
86	86	Somit haben alle drei Punkte den gleichen Abstand vom Mittelpunkt der Hypotenuse {{formula}}AC{{/formula}}.