Änderungen von Dokument Lösung Lineare Algebra

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -9,7 +9,7 @@
9	9	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
10	10	Da die {{formula}}x_2{{/formula}}-Komponente des Richtungsvektors von {{formula}}g{{/formula}} 0 ist, ist {{formula}}g{{/formula}} parallel zur {{formula}}x_1x_3{{/formula}}. Daher existieren nur zwei Spurpunkte.
11	11	<p></p>
12		-Den ersten Spurpunkt erhalten wir, indem wir die erste Geradenzeile gleich 0 setzen und nach {{formula}}r{{/formula}} auflösen:
	12	+Den Schnittpunkt mit der {{formula}}x_2x_3{{/formula}}-Ebene erhalten wir, indem wir die erste Zeile der Geradengleichung gleich 0 setzen ({{formula}}x_1=0{{/formula}}) und nach {{formula}}r{{/formula}} auflösen:
13	13	<br>
14	14	{{formula}}0=-1+r\cdot 1 \ \Leftrightarrow 1=r{{/formula}}
15	15	<br>
...	...	@@ -17,7 +17,7 @@
17	17	<br>
18	18	{{formula}}\vec{x} = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 \\-2 \\ 6 \end{pmatrix} \quad \rightarrow \ S_{23}(0 \mid -2 \mid 6){{/formula}}
19	19	<p></p>
20		-Analog ergibt sich der zweite Spurpunkt, indem wir die dritte Geradenzeile gleich 0 setzen:
	20	+Analog ergibt sich der Schnittpunkt mit der {{formula}}x_1x_2{{/formula}}-Ebene, indem wir die dritte Zeile der Geradengleichung gleich 0 setzen:
21	21	<br>
22	22	{{formula}}0=5+r\cdot 1 \ \Leftrightarrow -5=r{{/formula}}.
23	23	<br>
...	...	@@ -93,7 +93,27 @@
93	93
94	94
95	95	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
96		-
	96	+Damit die Ebene parallel zur {{formula}}x_1x_3{{/formula}}- Ebene ist, muss ein Richtungsvektor parallel zur {{formula}}x_1{{/formula}}-Achse sein und der andere zur {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse.
	97	+<br>
	98	+Das heißt, wir verwenden die Richtungsvektoren {{formula}}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}{{/formula}} und {{formula}}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}{{/formula}} (oder Vielfache davon).
	99	+<p></p>
	100	+Damit die Ebene von {{formula}}C{{/formula}} den Abstand {{formula}}2{{/formula}} hat, wählen wir, ausgehend vom Punkt {{formula}}C(0|3|2){{/formula}}, als Stützvektor entweder {{formula}}\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}{{/formula}} oder {{formula}}\begin{pmatrix}0\\5\\2\end{pmatrix}{{/formula}}, damit die Differenz der {{formula}}x_2{{/formula}}-Koordinaten {{formula}}2{{/formula}} ist.
	101	+<p></p>
	102	+Somit ist eine mögliche Lösung
	103	+<br>
	104	+{{formula}}E: \ \vec x =
	105	+\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}+ r \cdot
	106	+\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} + s \cdot
	107	+\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}; \ r, s \in \mathbb{R}
	108	+{{/formula}}
	109	+<br>
	110	+Eine weitere Lösung wäre
	111	+<br>
	112	+{{formula}}E: \ \vec x =
	113	+\begin{pmatrix}0\\5\\2\end{pmatrix}+ r \cdot
	114	+\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} + s \cdot
	115	+\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}; \ r, s \in \mathbb{R}
	116	+{{/formula}}
97	97	{{/detail}}
98	98
99	99	=== Teilaufgabe d) ===
...	...	@@ -103,7 +103,9 @@
103	103
104	104
105	105	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
106		-
	126	+Da {{formula}}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=0{{/formula}} gilt, wissen wir, dass {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} und {{formula}}\overrightarrow{BC}{{/formula}} senkrecht auf einander stehen. Die Punkte {{formula}}A, B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} bilden somit ein rechtwinkliges Dreieck. Die Strecken {{formula}}AB{{/formula}} und {{formula}}BC{{/formula}} sind dabei die Katheten des Dreiecks.
	127	+<br>
	128	+Da die Längen der Vektoren {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} und {{formula}}\overrightarrow{BC}{{/formula}} den Längen der Katheten des Dreiecks {{formula}}ABC{{/formula}} entsprechen, wird durch den Term {{formula}} \frac{1}{2} \cdot \Bigl|\overrightarrow{AB}\Bigr| \cdot \Bigl|\overrightarrow{BC}\Bigr| {{/formula}} der Flächeninhalt des Dreiecks {{formula}}ABC{{/formula}} berechnet.
107	107	{{/detail}}
108	108
109	109	=== Teilaufgabe e) ===