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Änderungen von Dokument Lösung Lineare Algebra

Zuletzt geändert von akukin am 2026/01/17 12:06
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -7,7 +7,14 @@
7 7  
8 8  
9 9  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
10 -Da die {{formula}}x_2{{/formula}}-Komponente des Richtungsvektors von {{formula}}g{{/formula}} 0 ist, ist {{formula}}g{{/formula}} parallel zur {{formula}}x_1x_3{{/formula}}. Daher existieren nur zwei Spurpunkte.
10 +<p>
11 +//Aufgabenstellung//
12 +<br>
13 +Bestimme die Koordinaten der Schnittpunkte von {{formula}} g {{/formula}} mit den Koordinatenebenen.
14 +</p>
15 +//Lösung//
16 +<br>
17 +Da die {{formula}}x_2{{/formula}}-Komponente des Richtungsvektors von {{formula}}g{{/formula}} null ist, ist {{formula}}g{{/formula}} parallel zur {{formula}}x_1x_3{{/formula}}. Daher existieren nur zwei Spurpunkte.
11 11  <p></p>
12 12  Den Schnittpunkt mit der {{formula}}x_2x_3{{/formula}}-Ebene erhalten wir, indem wir die erste Zeile der Geradengleichung gleich 0 setzen ({{formula}}x_1=0{{/formula}}) und nach {{formula}}r{{/formula}} auflösen:
13 13  <br>
... ... @@ -46,10 +46,18 @@
46 46  
47 47  
48 48  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
56 +<p>
57 +//Aufgabenstellung//
58 +<br>
59 +{{formula}} h {{/formula}} ist die Gerade durch {{formula}} A {{/formula}} und {{formula}} B {{/formula}}.
60 +Zeige, dass {{formula}} g {{/formula}} und {{formula}} h {{/formula}} zueinander windschief sind.
61 +</p>
62 +//Lösung//
63 +<br>
49 49  Die Gleichung der Geraden {{formula}}h{{/formula}} stellen wir auf, indem wir einen der beiden Punkte, hier {{formula}}A{{/formula}}, als Stützvektor verwenden und als Richtungsvektor den Verbindungsvektor der Punkte {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}B{{/formula}}.
50 50  <br>
51 51  {{formula}}
52 -\overline{AB}=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5\\-1\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\2\\-4\end{pmatrix}
67 +\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5\\-1\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\2\\-4\end{pmatrix}
53 53  {{/formula}}
54 54  <p></p>
55 55  Somit:
... ... @@ -75,7 +75,7 @@
75 75  \end{array}
76 76  {{/formula}}
77 77  <br>
78 -Addieren von Zeile {{formula}}(1){{/formula}} und {{formula}}(2){{/formula}} führt zu der falschen Aussage {{formula}}0=5{{/formula}}.
93 +Subtrahiert man Zeile {{formula}}(3){{/formula}} von Zeile {{formula}}(1){{/formula}}, so erhält man die falsche Aussage {{formula}}0=7{{/formula}}.
79 79  <br>
80 80  Das LGS hat somit keine Lösung und die beiden Geraden besitzen keinen Schnittpunkt.
81 81  <br>
... ... @@ -93,6 +93,13 @@
93 93  
94 94  
95 95  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
111 +<p>
112 +//Aufgabenstellung//
113 +<br>
114 +Gib eine Gleichung einer Ebene an, die parallel zur {{formula}} x_{1}x_{3} {{/formula}}-Ebene ist und von {{formula}} C {{/formula}} den Abstand {{formula}} 2 {{/formula}} hat.
115 +</p>
116 +//Lösung//
117 +<br>
96 96  Damit die Ebene parallel zur {{formula}}x_1x_3{{/formula}}- Ebene ist, muss ein Richtungsvektor parallel zur {{formula}}x_1{{/formula}}-Achse sein und der andere zur {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse.
97 97  <br>
98 98  Das heißt, wir verwenden die Richtungsvektoren {{formula}}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}{{/formula}} und {{formula}}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}{{/formula}} (oder Vielfache davon).
... ... @@ -109,11 +109,16 @@
109 109  <br>
110 110  Eine weitere Lösung wäre
111 111  <br>
112 -{{formula}}E: \ \vec x =
134 +{{formula}}E_2: \ \vec x =
113 113  \begin{pmatrix}0\\5\\2\end{pmatrix}+ r \cdot
114 114  \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} + s \cdot
115 115  \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}; \ r, s \in \mathbb{R}
116 116  {{/formula}}
139 +
140 +<div style="height: 30px;"></div>
141 +Alternativ lautet die Ebenengleichung in der Koordinatenform entweder
142 +<br>
143 +{{formula}}E: x_2=1{{/formula}} oder {{formula}}E_2: x_2=5{{/formula}}.
117 117  {{/detail}}
118 118  
119 119  === Teilaufgabe d) ===
... ... @@ -123,6 +123,17 @@
123 123  
124 124  
125 125  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
153 +<p>
154 +//Aufgabenstellung//
155 +<br>
156 +Es gilt: {{formula}} \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = 0 {{/formula}}.
157 +<br>
158 +Erläutere, welche geometrische Größe durch den Term
159 +{{formula}} \frac{1}{2} \cdot \Bigl|\overrightarrow{AB}\Bigr| \cdot \Bigl|\overrightarrow{BC}\Bigr| {{/formula}}
160 +berechnet wird.
161 +</p>
162 +//Lösung//
163 +<br>
126 126  Da {{formula}}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=0{{/formula}} gilt, wissen wir, dass {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} und {{formula}}\overrightarrow{BC}{{/formula}} senkrecht auf einander stehen. Die Punkte {{formula}}A, B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} bilden somit ein rechtwinkliges Dreieck. Die Strecken {{formula}}AB{{/formula}} und {{formula}}BC{{/formula}} sind dabei die Katheten des Dreiecks.
127 127  <br>
128 128  Da die Längen der Vektoren {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} und {{formula}}\overrightarrow{BC}{{/formula}} den Längen der Katheten des Dreiecks {{formula}}ABC{{/formula}} entsprechen, wird durch den Term {{formula}} \frac{1}{2} \cdot \Bigl|\overrightarrow{AB}\Bigr| \cdot \Bigl|\overrightarrow{BC}\Bigr| {{/formula}} der Flächeninhalt des Dreiecks {{formula}}ABC{{/formula}} berechnet.
... ... @@ -135,7 +135,7 @@
135 135  {{formula}}
136 136  \overrightarrow{OM}= \overrightarrow{OA}+\frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{AC}=
137 137  \begin{pmatrix}2{,}5\\1\\3\end{pmatrix}, \
138 -\Bigl| \overrightarrow{AM} \Bigr|+ \Bigl| \overrightarrow{MB} \Bigr|+\Bigl| \overrightarrow{CM} \Bigr|=\sqrt{11{,}25}
176 +\Bigl| \overrightarrow{AM} \Bigr|= \Bigl| \overrightarrow{MB} \Bigr|=\Bigl| \overrightarrow{CM} \Bigr|=\sqrt{11{,}25}
139 139  {{/formula}}
140 140  <p>
141 141  Somit haben alle drei Punkte den gleichen Abstand vom Mittelpunkt der Hypotenuse {{formula}}AC{{/formula}}.
... ... @@ -147,5 +147,39 @@
147 147  
148 148  
149 149  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
150 -
188 +<p>
189 +//Aufgabenstellung//
190 +<br>
191 + Es gibt genau einen Kreis, auf dem die Punkte {{formula}} A {{/formula}}, {{formula}} B {{/formula}} und {{formula}} C {{/formula}} liegen. Zeige, dass der Mittelpunkt dieses Kreises auf der Hypotenuse des Dreiecks {{formula}} ABC {{/formula}} liegt.
192 +</p>
193 +//Lösung//
194 +<br>
195 +Skizze:
196 +<br>
197 +[[image:SkizzeKreis (1).svg||width="250"]]
198 +<br>
199 +Aus der vorherigen Teilaufgabe wissen wir, dass {{formula}}AC{{/formula}} die Hypotenuse des Dreieckes ist. Auf der Hypotenuse {{formula}}AC{{/formula}} hat nur ihr Mittelpunkt {{formula}}M{{/formula}} denselben Abstand von {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}}.
200 +<br>
201 +Den Mittelpunkt {{formula}}M{{/formula}} der Strecke {{formula}}AC{{/formula}} erhalten wir durch
202 +<br>
203 +{{formula}}
204 +\overrightarrow{OM}= \overrightarrow{OA}+\frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}5\\-1\\4\end{pmatrix}+\frac{1}{2}\cdot \begin{pmatrix}-5\\4\\-2\end{pmatrix} =
205 +\begin{pmatrix}2{,}5\\1\\3\end{pmatrix}
206 +{{/formula}}
207 +<p></p>
208 +Nun müssen wir prüfen, dass der berechnete Mittelpunkt von den Punkten {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} jeweils den selben Abstand besitzt:
209 +<br>
210 +{{formula}}
211 +\begin{align*}
212 +&\Bigl| \overrightarrow{AM} \Bigr| =\left| \begin{pmatrix}-2,5\\2\\-1\end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-2,5)^2+2^2+(-1)^2} =\sqrt{11{,}25} \\
213 +&\Bigl| \overrightarrow{MB} \Bigr| =\left| \begin{pmatrix}-1,5\\0\\3\end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-1,5)^2+0^2+3^2} =\sqrt{11{,}25}\\
214 +&\Bigl| \overrightarrow{CM} \Bigr|=\left| \begin{pmatrix}2,5\\-2\\1\end{pmatrix}\right|=\sqrt{2,5^2+(-2)^2+1^2} =\sqrt{11{,}25} \\
215 +\end{align*}
216 +{{/formula}}
217 +<p>
218 +Somit haben alle drei Punkte den gleichen Abstand vom Mittelpunkt der Hypotenuse {{formula}}AC{{/formula}}.
219 +Sie liegen deshalb auf einem Kreis mit diesem Punkt als Mittelpunkt.
220 +</p>
221 +Hinweis:
222 +Eine Argumentation mit dem Thaleskreis ist ebenso zulässig.
151 151  {{/detail}}