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Wiki-Quellcode von Lösung Lineare Algebra

Version 1.1 von akukin am 2026/01/02 19:35
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1 === Teilaufgabe a) ===
2 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
3 {{formula}}g{{/formula}} ist parallel zur {{formula}}x_1x_3{{/formula}}-Ebene, daher nur zwei Spurpunkte:
4 <br>
5 {{formula}}S_{23}(0 \mid -2 \mid 6), \quad S_{12}(-6 \mid -2 \mid 0){{/formula}}
6 {{/detail}}
7
8
9 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
10
11 {{/detail}}
12
13 === Teilaufgabe b) ===
14 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
15 {{formula}}h: \ \vec x =\begin{pmatrix}5\\-1\\4\end{pmatrix} + r \cdot
16 \begin{pmatrix}-4\\2\\-4
17 \end{pmatrix},
18 ; \ r \in \mathbb{R}
19 {{/formula}}
20
21 Das LGS
22 {{formula}}
23 \begin{pmatrix}-1\\-2\\5\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\-1\\4\end{pmatrix} + r \cdot\begin{pmatrix}-4\\2\\-4\end{pmatrix}
24 {{/formula}}
25 hat keine Lösung.
26
27 Die Geraden {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} sind nicht parallel, da die Richtungsvektoren keine Vielfachen sind. Somit sind die Geraden windschief.
28 {{/detail}}
29
30
31 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
32
33 {{/detail}}
34
35 === Teilaufgabe c) ===
36 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
37 Eine mögliche Lösung ist {{formula}}E: \ \vec x =
38 \begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}+ r \cdot
39 \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} + s \cdot
40 \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}; \ r, s \in \mathbb{R}
41 {{/formula}}
42 {{/detail}}
43
44
45 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
46
47 {{/detail}}
48
49 === Teilaufgabe d) ===
50 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
51 Der Term gibt den Flächeninhalt des Dreiecks {{formula}}ABC{{/formula}} an.
52 {{/detail}}
53
54
55 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
56
57 {{/detail}}
58
59 === Teilaufgabe e) ===
60 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
61 Auf der Hypotenuse {{formula}}AC{{/formula}} hat nur ihr Mittelpunkt {{formula}}M{{/formula}} denselben Abstand von {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}}.
62 <br>
63 {{formula}}
64 \overrightarrow{OM}= \overrightarrow{OA}+\frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{AC}=
65 \begin{pmatrix}2{,}5\\1\\3\end{pmatrix}, \
66 \bigl| \overrightarrow{AM} \bigr|+ \bigl| \overrightarrow{MB} \bigr|+\bigl| \overrightarrow{CM} \bigr|=\sqrt{11{,}25}
67 {{/formula}}
68 <p>
69 Somit haben alle drei Punkte den gleichen Abstand vom Mittelpunkt der Hypotenuse {{formula}}AC{{/formula}}.
70 Sie liegen deshalb auf einem Kreis mit diesem Punkt als Mittelpunkt.
71 </p>
72 Hinweis:
73 Eine Argumentation mit dem Thaleskreis ist ebenso zulässig.
74 {{/detail}}
75
76
77 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
78
79 {{/detail}}