2025 gAN - Teil B - Lineare Algebra - Aufgabensatz II

Aufgabe 1  Lineare Algebra

Die Form eines Schirms für eine Stehlampe wird durch die Punkte \( A(0|0|0) \), \( B(4|0|0) \), \( C(4|4|0) \), \( D(0|4|0) \), \( E(1|1|8) \), \( F(3|1|8) \), \( G(3|3|8) \) und \( H(1|3|8) \) beschrieben. Eine Längeneinheit entspricht \(10\text{ cm} \).

1. [3 BE] Zeichne den Lampenschirm in ein Koordinatensystem ein.
2. [2 BE] Zeige, dass die Seitenfläche \( ADHE \) ein Trapez ist.
3. [3 BE] Beurteile die folgende Aussage: Die Kante \( BF \) schließt mit der \( x_{1}x_{2} \)-Ebene einen Winkel von mehr als \( 81^\circ \) ein.
4. [3 BE] Zur Stabilisierung sollen im Inneren des Lampenschirms dünne Stäbe angebracht werden.
   Formuliere in dieser Anwendungssituation eine Aufgabenstellung, die sich mit folgendem Ansatz lösen lässt:
   \( \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 8 \end{pmatrix}; \ s,t \in [0;1] \)
5. [4 BE] Im Lampenschirm soll eine LED-Lampe installiert werden. Diese soll von allen Eckpunkten den gleichen Abstand haben. Die LED-Lampe wird vereinfacht als punktförmig angenommen.
   Bestimme die Koordinaten dieses Punktes.