Wiki-Quellcode von Lösung Stochastik
Verstecke letzte Bearbeiter
| author | version | line-number | content |
|---|---|---|---|
 |
1.1 | 1 | === Teilaufgabe a) === |
| 2 | {{detail summary="Erwartungshorizont"}} | ||
| 3 | (%class="border" style="text-align:center"%) | ||
| 4 | | |Jugendliche|Erwachsene| Summe | ||
| 5 | |Ehrenamt|16|64|80 | ||
| 6 | |kein Ehrenamt|184|536|720 | ||
| 7 | |Summe|200|600|800 | ||
| 8 | {{/detail}} | ||
| 9 | |||
| 10 | |||
| 11 | {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} | ||
| |
2.1 | 12 | Folgende Informationen können wir direkt ablesen: |
| 13 | * Der Sportverein hat 800 Mitglieder | ||
| 14 | * 200 Mitglieder sind jugendlich | ||
| 15 | * 536 Mitglieder sind erwachsen und engagieren sich nicht ehrenamtlich | ||
| 16 | |||
| 17 | Zudem wissen wir: | ||
| 18 | * Es sind 800-200=600 Mitglieder erwachsen. | ||
| 19 | * Es engagieren sich 10% von den 800 Mitgliedern, das heißt 80 Personen ehrenamtlich. | ||
| 20 | |||
| 21 | Somit erhalten wir für die Vierfeldertafel: | ||
| 22 | <br> | ||
| 23 | (%class="border" style="text-align:center"%) | ||
| 24 | | |Jugendliche|Erwachsene| Summe | ||
| 25 | |Ehrenamt|||80 | ||
| 26 | |kein Ehrenamt||536| | ||
| 27 | |Summe|200|600|800 | ||
| 28 | |||
| 29 | Die restlichen Felder können wir ausfüllen, indem wir die Zeilen- und Spaltensummen schrittweise ergänzen. | ||
| 30 | (%class="border" style="text-align:center"%) | ||
| 31 | | |Jugendliche|Erwachsene| Summe | ||
| 32 | |Ehrenamt|16|64|80 | ||
| 33 | |kein Ehrenamt|184|536|720 | ||
| 34 | |Summe|200|600|800 | ||
| 35 | |||
| |
1.1 | 36 | {{/detail}} |
| 37 | |||
| 38 | === Teilaufgabe b) === | ||
| 39 | {{detail summary="Erwartungshorizont"}} | ||
| 40 | {{formula}}\frac{16}{200} < \frac{64}{600} {{/formula}} | ||
| 41 | <br> | ||
| 42 | Nein, der Anteil derjenigen, die sich ehrenamtlich im Verein engagieren, ist unter den erwachsenen Mitgliedern größer. | ||
| 43 | {{/detail}} | ||
| 44 | |||
| 45 | |||
| 46 | {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} | ||
| |
2.1 | 47 | Aus der Vierfeldertafel entnehmen wir, dass der Anteil derjenigen, die sich ehrenamtlich engagieren und jugendlich sind, {{formula}}\frac{16}{200}{{/formula}} beträgt, während der Anteil an derjenigen, die sich ehrenamtlich engagieren und erwachsen sind, {{formula}}\frac{64}{600} {{/formula}} beträgt. |
| 48 | <p></p> | ||
| 49 | Da {{formula}}\frac{16}{200}=0,08 < \frac{64}{600}=0,10\overline{6} {{/formula}}, ist der Anteil derjenigen, die sich ehrenamtlich im Verein engagieren, ist unter den erwachsenen Mitgliedern größer. | ||
| |
1.1 | 50 | {{/detail}} |
| 51 | |||
| 52 | === Teilaufgabe c) === | ||
| 53 | {{detail summary="Erwartungshorizont"}} | ||
| 54 | {{formula}} | ||
| 55 | \frac{200}{800}\cdot\frac{199}{799}\cdot\frac{198}{798} \approx 0{,}0154 | ||
| 56 | {{/formula}} | ||
| 57 | {{/detail}} | ||
| 58 | |||
| 59 | |||
| 60 | {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} | ||
| |
2.1 | 61 | Unter den insgesamt 800 Mitgliedern sind 200 jugendlich. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die erste Person jugendlich ist, beträgt somit {{formula}}\frac{200}{800}{{/formula}}. |
| 62 | <br> | ||
| 63 | Da es sich um ein Ziehen ohne Zurücklegen handelt, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Person jugendlich ist, beträgt somit {{formula}}\frac{199}{799}{{/formula}} und die für die dritte Person {{formula}}\frac{198}{798}{{/formula}}. | ||
| 64 | <p></p> | ||
| 65 | Insgesamt ergibt sich mit der Pfadmultiplikationsregel | ||
| 66 | <br> | ||
| 67 | {{formula}} | ||
| 68 | P(alle drei jugendlich)=\frac{200}{800}\cdot\frac{199}{799}\cdot\frac{198}{798} \approx 0{,}0154 | ||
| 69 | {{/formula}} | ||
| |
1.1 | 70 | {{/detail}} |
| 71 | |||
| 72 | === Teilaufgabe d) === | ||
| 73 | {{detail summary="Erwartungshorizont"}} | ||
| 74 | {{formula}}k{{/formula}}: Anzahl der neuen Erwachsenen, die sich nicht ehrenamtlich engagieren | ||
| 75 | <br> | ||
| 76 | {{formula}}\frac{536 + k}{720 + k} > 0{,}75 \ \Leftrightarrow \ k > 16{{/formula}} | ||
| 77 | <br> | ||
| 78 | Es sind mindestens 17 Personen eingetreten. | ||
| 79 | {{/detail}} | ||
| 80 | |||
| 81 | |||
| 82 | {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} | ||
| |
2.1 | 83 | {{formula}}k{{/formula}}: Anzahl der neuen Erwachsenen, die sich nicht ehrenamtlich engagieren |
| 84 | <p></p> | ||
| 85 | Die Anzahl an erwachsenen Mitgliedern, die sich nicht ehrenamtlich engagieren wird zu {{formula}}536 + k{{/formula}}. Die Anzahl an Personen, die sich nicht ehrenamtlich engagieren wird zu {{formula}}720 + k{{/formula}}. | ||
| 86 | <br> | ||
| 87 | Somit beträgt der neue Anteil der Erwachsenen bei den nicht ehrenamtlich engagierten Mitgliedern {{formula}}\frac{536 + k}{720 + k}{{/formula}}. | ||
| 88 | <p></p> | ||
| 89 | Umstellen nach {{formula}}k{{/formula}}: | ||
| 90 | <br> | ||
| 91 | {{formula}} | ||
| 92 | \begin{align*} | ||
| 93 | \frac{536 + k}{720 + k} &> 0{,}75 &&\mid \cdot (720+k) \\ | ||
| 94 | \Leftrightarrow 536+k &>0{,}75 \cdot (720+k) \\ | ||
| 95 | \Leftrightarrow 536+k &>540+ 0{,}75k &&\mid -536-0{,}75k \\ | ||
| 96 | \Leftrightarrow \quad 0{,}25k &>4 &&\mid :0{,}25 \\ | ||
| 97 | \Leftrightarrow \qquad \ \ \ k &> 16 | ||
| 98 | \end{align*} | ||
| 99 | {{/formula}} | ||
| 100 | <br> | ||
| 101 | Es sind mindestens 17 Personen eingetreten. | ||
| |
1.1 | 102 | {{/detail}} |
| 103 | |||
| 104 | === Teilaufgabe e) === | ||
| 105 | {{detail summary="Erwartungshorizont"}} | ||
| 106 | {{formula}}X{{/formula}}: Anzahl derjenigen, die eine Beitragserhöhung befürworten | ||
| 107 | <br><p> | ||
| 108 | {{formula}}X{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n = 75{{/formula}} und {{formula}}p = 0{,}6{{/formula}}. | ||
| 109 | </p> | ||
| 110 | {{formula}} | ||
| 111 | P(A) = P(X \ge 41) = 1 - P(X \le 40) \approx 0{,}855 | ||
| 112 | {{/formula}} | ||
| 113 | <br> | ||
| 114 | {{formula}} | ||
| 115 | P(B) = P(35 < X \le 39) = P(X \le 39) - P(X \le 35) \approx 0{,}0849 | ||
| 116 | {{/formula}} | ||
| 117 | {{/detail}} | ||
| 118 | |||
| 119 | |||
| 120 | {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} | ||
| 121 | |||
| 122 | {{/detail}} |