Lösung Stochastik

Stelle den Sachverhalt in einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel dar.

• Der Sportverein hat 800 Mitglieder
• 200 Mitglieder sind jugendlich
• 536 Mitglieder sind erwachsen und engagieren sich nicht ehrenamtlich

• Es sind 800-200=600 Mitglieder erwachsen.
• Es engagieren sich 10% von den 800 Mitgliedern, das heißt 80 Personen ehrenamtlich.

Beurteile, ob der Anteil derjenigen, die sich ehrenamtlich im Sportverein engagieren, unter den erwachsenen Mitgliedern genauso groß ist wie unter den jugendlichen Mitgliedern.

Aus der Vierfeldertafel entnehmen wir, dass der Anteil derjenigen, die sich ehrenamtlich engagieren und jugendlich sind, \(\frac{16}{200}\) beträgt, während der Anteil an derjenigen, die sich ehrenamtlich engagieren und erwachsen sind, \(\frac{64}{600} \) beträgt.

Da \(\frac{16}{200}=0,08 < \frac{64}{600}=0,10\overline{6} \), ist der Anteil derjenigen, die sich ehrenamtlich im Verein engagieren, ist unter den erwachsenen Mitgliedern größer.

In einer Umkleidekabine treffen sich zufällig drei Mitglieder des Sportvereins. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei jugendlich sind.

Unter den insgesamt 800 Mitgliedern sind 200 jugendlich. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die erste Person jugendlich ist, beträgt somit \(\frac{200}{800}\).
Da es sich um ein Ziehen ohne Zurücklegen handelt, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Person jugendlich ist, beträgt somit \(\frac{199}{799}\) und die für die dritte Person \(\frac{198}{798}\).

Insgesamt ergibt sich mit der Pfadmultiplikationsregel
\(P(\text{alle drei jugendlich})=\frac{200}{800}\cdot\frac{199}{799}\cdot\frac{198}{798} \approx 0{,}0154\)

Dem Sportverein tritt eine Gruppe Erwachsener bei, die sich aber alle nicht ehrenamtlich engagieren. Dadurch steigt bei den nicht ehrenamtlich engagierten Mitgliedern der Anteil der Erwachsenen auf über 75%. Ermittle, wie viele Personen mindestens beigetreten sind.

\(k\): Anzahl der neuen Erwachsenen, die sich nicht ehrenamtlich engagieren

Die Anzahl an erwachsenen Mitgliedern, die sich nicht ehrenamtlich engagieren wird zu \(536 + k\). Die Anzahl an Personen, die sich nicht ehrenamtlich engagieren wird zu \(720 + k\).
Somit beträgt der neue Anteil der Erwachsenen bei den nicht ehrenamtlich engagierten Mitgliedern \(\frac{536 + k}{720 + k}\).

Umstellen nach \(k\):
\(\begin{align*} \frac{536 + k}{720 + k} &> 0{,}75 &&\mid \cdot (720+k) \\ \Leftrightarrow 536+k &>0{,}75 \cdot (720+k) \\ \Leftrightarrow 536+k &>540+ 0{,}75k &&\mid -536-0{,}75k \\ \Leftrightarrow \quad 0{,}25k &>4 &&\mid :0{,}25 \\ \Leftrightarrow \qquad \ \ \ k &> 16 \end{align*}\)
Es sind mindestens 17 Personen eingetreten.

Zur Jahreshauptversammlung des Sportvereins kommen insgesamt 75 Mitglieder. Es wird angenommen, dass die Anzahl der Teilnehmer, die für eine Beitragserhöhung stimmen werden, binomialverteilt ist mit \( p=0,6 \).

Berechne die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse:
A: Mindestens 41 Mitglieder stimmen für eine Beitragserhöhung.
B: Es stimmen mehr als 35 und höchstens 39 Mitglieder für eine Beitragserhöhung.

\(X\): Anzahl derjenigen, die eine Beitragserhöhung befürworten
\(X\) ist binomialverteilt mit \(n = 75\) und \(p = 0{,}6\).

Gesucht sind die Wahrscheinlichkeiten \(P(A) = P(X \ge 41)\) und \(P(B) = P(35 < X \le 39)\). Damit wir die gesuchten Wahrscheinlichkeiten mit dem Taschenrechner (binomialcdf) berechnen können, schreiben wir sie wie folgt um:

\(P(A) = P(X \ge 41) = 1 - P(X \le 40) \approx 0{,}855\)
\(P(B) = P(35 < X \le 39) = P(X \le 39) - P(X \le 35) \approx 0{,}0849\)