Zum Inhalt springen

Lösung Stochastik

Version 3.1 von akukin am 2026/01/13 09:52

Teilaufgabe a)

Erwartungshorizont
JugendlicheErwachsene Summe
Ehrenamt166480
kein Ehrenamt184536720
Summe200600800
Erläuterung der Lösung Folgende Informationen können wir direkt ablesen:
  • Der Sportverein hat 800 Mitglieder
  • 200 Mitglieder sind jugendlich
  • 536 Mitglieder sind erwachsen und engagieren sich nicht ehrenamtlich
Zudem wissen wir:
  • Es sind 800-200=600 Mitglieder erwachsen.
  • Es engagieren sich 10% von den 800 Mitgliedern, das heißt 80 Personen ehrenamtlich.
Somit erhalten wir für die Vierfeldertafel:
JugendlicheErwachsene Summe
Ehrenamt80
kein Ehrenamt536
Summe200600800
Die restlichen Felder können wir ausfüllen, indem wir die Zeilen- und Spaltensummen schrittweise ergänzen.
JugendlicheErwachsene Summe
Ehrenamt166480
kein Ehrenamt184536720
Summe200600800

Teilaufgabe b)

Erwartungshorizont \(\frac{16}{200} < \frac{64}{600} \)
Nein, der Anteil derjenigen, die sich ehrenamtlich im Verein engagieren, ist unter den erwachsenen Mitgliedern größer.
Erläuterung der Lösung Aus der Vierfeldertafel entnehmen wir, dass der Anteil derjenigen, die sich ehrenamtlich engagieren und jugendlich sind, \(\frac{16}{200}\) beträgt, während der Anteil an derjenigen, die sich ehrenamtlich engagieren und erwachsen sind, \(\frac{64}{600} \) beträgt.

Da \(\frac{16}{200}=0,08 < \frac{64}{600}=0,10\overline{6} \), ist der Anteil derjenigen, die sich ehrenamtlich im Verein engagieren, ist unter den erwachsenen Mitgliedern größer.

Teilaufgabe c)

Erwartungshorizont \(\frac{200}{800}\cdot\frac{199}{799}\cdot\frac{198}{798} \approx 0{,}0154\)
Erläuterung der Lösung Unter den insgesamt 800 Mitgliedern sind 200 jugendlich. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die erste Person jugendlich ist, beträgt somit \(\frac{200}{800}\).
Da es sich um ein Ziehen ohne Zurücklegen handelt, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Person jugendlich ist, beträgt somit \(\frac{199}{799}\) und die für die dritte Person \(\frac{198}{798}\).

Insgesamt ergibt sich mit der Pfadmultiplikationsregel
\(P(alle drei jugendlich)=\frac{200}{800}\cdot\frac{199}{799}\cdot\frac{198}{798} \approx 0{,}0154\)

Teilaufgabe d)

Erwartungshorizont \(k\): Anzahl der neuen Erwachsenen, die sich nicht ehrenamtlich engagieren
\(\frac{536 + k}{720 + k} > 0{,}75 \ \Leftrightarrow \ k > 16\)
Es sind mindestens 17 Personen eingetreten.
Erläuterung der Lösung \(k\): Anzahl der neuen Erwachsenen, die sich nicht ehrenamtlich engagieren

Die Anzahl an erwachsenen Mitgliedern, die sich nicht ehrenamtlich engagieren wird zu \(536 + k\). Die Anzahl an Personen, die sich nicht ehrenamtlich engagieren wird zu \(720 + k\).
Somit beträgt der neue Anteil der Erwachsenen bei den nicht ehrenamtlich engagierten Mitgliedern \(\frac{536 + k}{720 + k}\).

Umstellen nach \(k\):
\(\begin{align*} \frac{536 + k}{720 + k} &> 0{,}75 &&\mid \cdot (720+k) \\ \Leftrightarrow 536+k &>0{,}75 \cdot (720+k) \\ \Leftrightarrow 536+k &>540+ 0{,}75k &&\mid -536-0{,}75k \\ \Leftrightarrow \quad 0{,}25k &>4 &&\mid :0{,}25 \\ \Leftrightarrow \qquad \ \ \ k &> 16 \end{align*}\)
Es sind mindestens 17 Personen eingetreten.

Teilaufgabe e)

Erwartungshorizont \(X\): Anzahl derjenigen, die eine Beitragserhöhung befürworten
\(X\) ist binomialverteilt mit \(n = 75\) und \(p = 0{,}6\).

\(P(A) = P(X \ge 41) = 1 - P(X \le 40) \approx 0{,}855\)
\(P(B) = P(35 < X \le 39) = P(X \le 39) - P(X \le 35) \approx 0{,}0849\)