Lösung Stochastik

Beurteile, ob der Anteil derjenigen, die sich ehrenamtlich im Sportverein engagieren, unter den erwachsenen Mitgliedern genauso groß ist wie unter den jugendlichen Mitgliedern.

56

57

//Lösung//

58

59

Aus der Vierfeldertafel entnehmen wir, dass der Anteil derjenigen, die sich ehrenamtlich engagieren und jugendlich sind, {{formula}}\frac{16}{200}{{/formula}} beträgt, während der Anteil an derjenigen, die sich ehrenamtlich engagieren und erwachsen sind, {{formula}}\frac{64}{600} {{/formula}} beträgt.

60

61

Da {{formula}}\frac{16}{200}=0,08 < \frac{64}{600}=0,10\overline{6} {{/formula}}, ist der Anteil derjenigen, die sich ehrenamtlich im Verein engagieren, ist unter den erwachsenen Mitgliedern größer.

62

63

64

=== Teilaufgabe c) ===

65

66

67

\frac{200}{800}\cdot\frac{199}{799}\cdot\frac{198}{798} \approx 0{,}0154

//Aufgabenstellung//

In einer Umkleidekabine treffen sich zufällig drei Mitglieder des Sportvereins. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei jugendlich sind.

//Lösung//

Unter den insgesamt 800 Mitgliedern sind 200 jugendlich. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die erste Person jugendlich ist, beträgt somit {{formula}}\frac{200}{800}{{/formula}}.

80

81

Da es sich um ein Ziehen ohne Zurücklegen handelt, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Person jugendlich ist, beträgt somit {{formula}}\frac{199}{799}{{/formula}} und die für die dritte Person {{formula}}\frac{198}{798}{{/formula}}.

82

83

Insgesamt ergibt sich mit der Pfadmultiplikationsregel

84

85

86

P(\text{alle drei jugendlich})=\frac{200}{800}\cdot\frac{199}{799}\cdot\frac{198}{798} \approx 0{,}0154

=== Teilaufgabe d) ===

91

92

{{formula}}k{{/formula}}: Anzahl der neuen Erwachsenen, die sich nicht ehrenamtlich engagieren

93

94

{{formula}}\frac{536 + k}{720 + k} > 0{,}75 \ \Leftrightarrow \ k > 16{{/formula}}

95

96

Es sind mindestens 17 Personen eingetreten.

//Aufgabenstellung//

Dem Sportverein tritt eine Gruppe Erwachsener bei, die sich aber alle nicht ehrenamtlich engagieren. Dadurch steigt bei den nicht ehrenamtlich engagierten Mitgliedern der Anteil der Erwachsenen auf über 75%. Ermittle, wie viele Personen mindestens beigetreten sind.

//Lösung//

{{formula}}k{{/formula}}: Anzahl der neuen Erwachsenen, die sich nicht ehrenamtlich engagieren

108

109

Die Anzahl an erwachsenen Mitgliedern, die sich nicht ehrenamtlich engagieren wird zu {{formula}}536 + k{{/formula}}. Die Anzahl an Personen, die sich nicht ehrenamtlich engagieren wird zu {{formula}}720 + k{{/formula}}.

110

111

Somit beträgt der neue Anteil der Erwachsenen bei den nicht ehrenamtlich engagierten Mitgliedern {{formula}}\frac{536 + k}{720 + k}{{/formula}}.

112

113

Umstellen nach {{formula}}k{{/formula}}:

\begin{align*}

\frac{536 + k}{720 + k} &> 0{,}75 &&\mid \cdot (720+k) \\

118

\Leftrightarrow 536+k &>0{,}75 \cdot (720+k) \\

119

\Leftrightarrow 536+k &>540+ 0{,}75k &&\mid -536-0{,}75k \\

120

\Leftrightarrow \quad 0{,}25k &>4 &&\mid :0{,}25 \\

121

\Leftrightarrow \qquad \ \ \ k &> 16

\end{align*}

Es sind mindestens 17 Personen eingetreten.

126

127

128

=== Teilaufgabe e) ===

129

130

{{formula}}X{{/formula}}: Anzahl derjenigen, die eine Beitragserhöhung befürworten

131

132

{{formula}}X{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n = 75{{/formula}} und {{formula}}p = 0{,}6{{/formula}}.

133

134

135

P(A) = P(X \ge 41) = 1 - P(X \le 40) \approx 0{,}855

P(B) = P(35 < X \le 39) = P(X \le 39) - P(X \le 35) \approx 0{,}0849

//Aufgabenstellung//

Zur Jahreshauptversammlung des Sportvereins kommen insgesamt 75 Mitglieder. Es wird angenommen, dass die Anzahl der Teilnehmer, die für eine Beitragserhöhung stimmen werden, binomialverteilt ist mit {{formula}} p=0,6 {{/formula}}.

148

149

Berechne die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse:

150

151

A: Mindestens 41 Mitglieder stimmen für eine Beitragserhöhung.

152

153

B: Es stimmen mehr als 35 und höchstens 39 Mitglieder für eine Beitragserhöhung.

//Lösung//

{{formula}}X{{/formula}}: Anzahl derjenigen, die eine Beitragserhöhung befürworten

158

159

{{formula}}X{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n = 75{{/formula}} und {{formula}}p = 0{,}6{{/formula}}.

160

161

Gesucht sind die Wahrscheinlichkeiten {{formula}}P(A) = P(X \ge 41){{/formula}} und {{formula}}P(B) = P(35 < X \le 39){{/formula}}. Damit wir die gesuchten Wahrscheinlichkeiten mit dem Taschenrechner (binomialcdf) berechnen können, schreiben wir sie wie folgt um:

162

163

164

P(A) = P(X \ge 41) = 1 - P(X \le 40) \approx 0{,}855

P(B) = P(35 < X \le 39) = P(X \le 39) - P(X \le 35) \approx 0{,}0849

169

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author	version	line-number	content
		1	=== Teilaufgabe a) ===
		2	{{detail summary="Erwartungshorizont"}}
		3	(%class="border" style="text-align:center"%)
		4	\| \|Jugendliche\|Erwachsene\| Summe
		5	\|Ehrenamt\|16\|64\|80
		6	\|kein Ehrenamt\|184\|536\|720
		7	\|Summe\|200\|600\|800
		8	{{/detail}}
		9
		10
		11	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
		12	//Aufgabenstellung//
		13	<br><p>
		14	Stelle den Sachverhalt in einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel dar.
		15	</p>
		16	//Lösung//
		17	<br>
		18	Folgende Informationen können wir direkt ablesen:
		19	* Der Sportverein hat 800 Mitglieder
		20	* 200 Mitglieder sind jugendlich
		21	* 536 Mitglieder sind erwachsen und engagieren sich nicht ehrenamtlich
		22
		23	Zudem wissen wir:
		24	* Es sind 800-200=600 Mitglieder erwachsen.
		25	* Es engagieren sich 10% von den 800 Mitgliedern, das heißt 80 Personen ehrenamtlich.
		26
		27	Somit erhalten wir für die Vierfeldertafel:
		28	<br>
		29	(%class="border" style="text-align:center"%)
		30	\| \|Jugendliche\|Erwachsene\| Summe
		31	\|Ehrenamt\|\|\|80
		32	\|kein Ehrenamt\|\|536\|
		33	\|Summe\|200\|600\|800
		34
		35	Die restlichen Felder können wir ausfüllen, indem wir die Zeilen- und Spaltensummen schrittweise ergänzen.
		36	(%class="border" style="text-align:center"%)
		37	\| \|Jugendliche\|Erwachsene\| Summe
		38	\|Ehrenamt\|16\|64\|80
		39	\|kein Ehrenamt\|184\|536\|720
		40	\|Summe\|200\|600\|800
		41
		42	{{/detail}}
		43
		44	=== Teilaufgabe b) ===
		45	{{detail summary="Erwartungshorizont"}}
		46	{{formula}}\frac{16}{200} < \frac{64}{600} {{/formula}}
		47	<br>
		48	Nein, der Anteil derjenigen, die sich ehrenamtlich im Verein engagieren, ist unter den erwachsenen Mitgliedern größer.
		49	{{/detail}}
		50
		51
		52	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
		53	//Aufgabenstellung//
		54	<br><p>
		55	Beurteile, ob der Anteil derjenigen, die sich ehrenamtlich im Sportverein engagieren, unter den erwachsenen Mitgliedern genauso groß ist wie unter den jugendlichen Mitgliedern.
		56	</p>
		57	//Lösung//
		58	<br><p>
		59	Aus der Vierfeldertafel entnehmen wir, dass der Anteil derjenigen, die sich ehrenamtlich engagieren und jugendlich sind, {{formula}}\frac{16}{200}{{/formula}} beträgt, während der Anteil an derjenigen, die sich ehrenamtlich engagieren und erwachsen sind, {{formula}}\frac{64}{600} {{/formula}} beträgt.
		60	<p></p>
		61	Da {{formula}}\frac{16}{200}=0,08 < \frac{64}{600}=0,10\overline{6} {{/formula}}, ist der Anteil derjenigen, die sich ehrenamtlich im Verein engagieren, ist unter den erwachsenen Mitgliedern größer.
		62	{{/detail}}
		63
		64	=== Teilaufgabe c) ===
		65	{{detail summary="Erwartungshorizont"}}
		66	{{formula}}
		67	\frac{200}{800}\cdot\frac{199}{799}\cdot\frac{198}{798} \approx 0{,}0154
		68	{{/formula}}
		69	{{/detail}}
		70
		71
		72	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
		73	//Aufgabenstellung//
		74	<br><p>
		75	In einer Umkleidekabine treffen sich zufällig drei Mitglieder des Sportvereins. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei jugendlich sind.
		76	</p>
		77	//Lösung//
		78	<br><p>
		79	Unter den insgesamt 800 Mitgliedern sind 200 jugendlich. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die erste Person jugendlich ist, beträgt somit {{formula}}\frac{200}{800}{{/formula}}.
		80	<br>
		81	Da es sich um ein Ziehen ohne Zurücklegen handelt, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass die zweite Person jugendlich ist, beträgt somit {{formula}}\frac{199}{799}{{/formula}} und die für die dritte Person {{formula}}\frac{198}{798}{{/formula}}.
		82	<p></p>
		83	Insgesamt ergibt sich mit der Pfadmultiplikationsregel
		84	<br>
		85	{{formula}}
		86	P(\text{alle drei jugendlich})=\frac{200}{800}\cdot\frac{199}{799}\cdot\frac{198}{798} \approx 0{,}0154
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		88	{{/detail}}
		89
		90	=== Teilaufgabe d) ===
		91	{{detail summary="Erwartungshorizont"}}
		92	{{formula}}k{{/formula}}: Anzahl der neuen Erwachsenen, die sich nicht ehrenamtlich engagieren
		93	<br>
		94	{{formula}}\frac{536 + k}{720 + k} > 0{,}75 \ \Leftrightarrow \ k > 16{{/formula}}
		95	<br>
		96	Es sind mindestens 17 Personen eingetreten.
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		101	//Aufgabenstellung//
		102	<br><p>
		103	Dem Sportverein tritt eine Gruppe Erwachsener bei, die sich aber alle nicht ehrenamtlich engagieren. Dadurch steigt bei den nicht ehrenamtlich engagierten Mitgliedern der Anteil der Erwachsenen auf über 75%. Ermittle, wie viele Personen mindestens beigetreten sind.
		104	</p>
		105	//Lösung//
		106	<br><p>
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		108	<p></p>
		109	Die Anzahl an erwachsenen Mitgliedern, die sich nicht ehrenamtlich engagieren wird zu {{formula}}536 + k{{/formula}}. Die Anzahl an Personen, die sich nicht ehrenamtlich engagieren wird zu {{formula}}720 + k{{/formula}}.
		110	<br>
		111	Somit beträgt der neue Anteil der Erwachsenen bei den nicht ehrenamtlich engagierten Mitgliedern {{formula}}\frac{536 + k}{720 + k}{{/formula}}.
		112	<p></p>
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		124	<br>
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		137	<br>
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		147	Zur Jahreshauptversammlung des Sportvereins kommen insgesamt 75 Mitglieder. Es wird angenommen, dass die Anzahl der Teilnehmer, die für eine Beitragserhöhung stimmen werden, binomialverteilt ist mit {{formula}} p=0,6 {{/formula}}.
		148	<p></p>
		149	Berechne die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse:
		150	<br>
		151	A: Mindestens 41 Mitglieder stimmen für eine Beitragserhöhung.
		152	<br>
		153	B: Es stimmen mehr als 35 und höchstens 39 Mitglieder für eine Beitragserhöhung.
		154	</p>
		155	//Lösung//
		156	<br><p>
		157	{{formula}}X{{/formula}}: Anzahl derjenigen, die eine Beitragserhöhung befürworten
		158	<br>
		159	{{formula}}X{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n = 75{{/formula}} und {{formula}}p = 0{,}6{{/formula}}.
		160	<p></p>
		161	Gesucht sind die Wahrscheinlichkeiten {{formula}}P(A) = P(X \ge 41){{/formula}} und {{formula}}P(B) = P(35 < X \le 39){{/formula}}. Damit wir die gesuchten Wahrscheinlichkeiten mit dem Taschenrechner (binomialcdf) berechnen können, schreiben wir sie wie folgt um:
		162	<p></p>
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		170	{{/detail}}

unfertig	fertig
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