Änderungen von Dokument Lösung Stochastik

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Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -13,7 +13,17 @@
13	13
14	14
15	15	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
16		-
	16	+{{formula}}G{{/formula}}: Das vorgeschriebene Gewicht wird eingehalten.
	17	+<br>
	18	+[[image:Lösunga).png||width="150"]]
	19	+<p></p>
	20	+{{formula}}X{{/formula}}: Anzahl der Frühlingsrollen, die das vorgegebene Gewicht unterschreiten
	21	+</p><p>
	22	+{{formula}}X{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}p = 0{,}17{{/formula}} und {{formula}}n = 3{{/formula}}.
	23	+</p>
	24	+Mindestens zwei bedeutet {{formula}}X\geq 2{{/formula}}. Mit dem Taschenrechner (binomialcdf) berechnen wir:
	25	+<br>
	26	+{{formula}}P(X \ge 2) = 1 - P(X \le 1) \approx 1 - 0{,}923 = 0{,}077{{/formula}}
17	17	{{/detail}}
18	18
19	19	=== Teilaufgabe b) ===
...	...	@@ -25,9 +25,20 @@
25	25
26	26
27	27	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
28		-
	38	+Bei der gegebenen Wahrscheinlichkeit handelt sich um ein Gegenereignis, das heißt {{formula}}P(A)=1-P(\overline{A}){{/formula}} mit {{formula}}P(\overline{A})=0{,}83^{20}{{/formula}}.
	39	+<br>
	40	+Mit {{formula}}0{,}83^{20}{{/formula}} wird die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet, dass bei 20 bestellten Frühlingsrollen alle das vorgegebene Gewicht einhalten.
	41	+<br>
	42	+Das Gegenereignis dazu ist, dass mindestens eine Frühlingsrolle das vorgegebene Gewicht unterschreitet.
	43	+<p></p>
	44	+Somit lautet ein passendes Zufallsexperiment mit möglichem Ereignis {{formula}}A{{/formula}}:
	45	+<br>
	46	+Es werden 20 Frühlingsrollen bestellt.
	47	+<br>
	48	+{{formula}}A{{/formula}}: Davon unterschreitet mindestens eine das vorgegebene Gewicht.
29	29	{{/detail}}
30	30
	51	+
31	31	=== Teilaufgabe c) ===
32	32	{{detail summary="Erwartungshorizont"}}
33	33	Die Anzahl der Frühlingsrollen, die das vorgegebene Gewicht unterschreiten, ist binomialverteilt mit {{formula}}p = 0{,}17{{/formula}} und {{formula}}n = 1500{{/formula}}.
...	...	@@ -45,7 +45,27 @@
45	45
46	46
47	47	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
48		-
	69	+Die Anzahl der Frühlingsrollen, die das vorgegebene Gewicht unterschreiten, ist binomialverteilt mit {{formula}}p = 0{,}17{{/formula}} und {{formula}}n = 1500{{/formula}}.
	70	+<br>
	71	+Die Formeln für den Erwartungswert und die Standardabweichung finden sich in der Merkhilfe.
	72	+<br>
	73	+Erwartungswert: {{formula}}E(X) = \mu=n\cdot p= 1500 \cdot 0{,}17 = 255{{/formula}}
	74	+<br>
	75	+Standardabweichung: {{formula}}\sigma = \sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{1500 \cdot 0{,}17 \cdot 0{,}83} \approx 14{,}55{{/formula}}
	76	+<p></p>
	77	+Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass {{formula}}X{{/formula}} um mehr als eine halbe Standardabweichung nach oben vom Erwartungswert abweicht:
	78	+<br>
	79	+{{formula}}
	80	+E(X) + \sigma \approx 269{,}55
	81	+{{/formula}}
	82	+<br>
	83	+Da die Anzahl ganzzahlig sein muss, lautet die gesuchte Wahrscheinlichkeit also {{formula}}P(X \ge 270){{/formula}}.
	84	+<br>
	85	+Da der Taschenrechner nur Wahrscheinlichkeiten {{formula}}P(X\le m){{/formula}} berechnen kann, schreiben wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit um und berechnen mit binomialcdf:
	86	+{{formula}}P(X \ge 270)= 1 - P(X \le 269) \approx 1 - 0{,}841 \approx 0{,}159
	87	+{{/formula}}
	88	+<br>
	89	+Mit einer Wahrscheinlichkeit von ungefähr 15,9 % wird die Stichprobe beanstandet.
49	49	{{/detail}}
50	50
51	51	=== Teilaufgabe d) ===
...	...	@@ -70,5 +70,29 @@
70	70
71	71
72	72	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
73		-
	114	+{{formula}}Z{{/formula}}: Anzahl der Frühlingsrollen, die das vorgegebene Gewicht einhalten
	115	+<br><p>
	116	+{{formula}}Z{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}p = 0{,}83{{/formula}} und unbekanntem {{formula}}n{{/formula}}.
	117	+</p>
	118	+Gesucht ist das minimale {{formula}}n{{/formula}}, so dass gilt:
	119	+<br>
	120	+{{formula}}
	121	+\begin{align*}
	122	+P(Z \ge 20) &\ge 0{,}99 \\
	123	+\Leftrightarrow \ 1 - P(Z \le 19) &\ge 0{,}99 &&\mid -1 \\
	124	+\Leftrightarrow \ \ \ -P(Z \le 19) &\le -0{,}01 &&\mid \cdot (-1) \\
	125	+\Leftrightarrow \qquad P(Z \le 19) &\ge 0{,}01
	126	+\end{align*}
	127	+{{/formula}}
	128	+<br>
	129	+//(beachte, dass sich beim Multiplizieren mit negativen Zahlen das Ungleichheitszeichen umdreht)//
	130	+<br>
	131	+Systematisches Ausprobieren/Wertetabelle mit dem Taschenrechner (binomialcdf) ergibt:
	132	+
	133	+(% class="border" style="width:30%; text-align:center" %)
	134	+|{{formula}}n{{/formula}}|{{formula}}P(Z \le 19){{/formula}}
	135	+|29|0,018
	136	+|30|0,008
	137	+
	138	+Man muss mindestens 30 Frühlingsrollen kaufen.
74	74	{{/detail}}