Änderungen von Dokument Lösung Stochastik

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Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -66,7 +66,27 @@
66	66
67	67
68	68	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
69		-
	69	+Die Anzahl der Frühlingsrollen, die das vorgegebene Gewicht unterschreiten, ist binomialverteilt mit {{formula}}p = 0{,}17{{/formula}} und {{formula}}n = 1500{{/formula}}.
	70	+<br>
	71	+Die Formeln für den Erwartungswert und die Standardabweichung finden sich in der Merkhilfe.
	72	+<br>
	73	+Erwartungswert: {{formula}}E(X) = \mu=n\cdot p= 1500 \cdot 0{,}17 = 255{{/formula}}
	74	+<br>
	75	+Standardabweichung: {{formula}}\sigma = \sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{1500 \cdot 0{,}17 \cdot 0{,}83} \approx 14{,}55{{/formula}}
	76	+<p></p>
	77	+Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass {{formula}}X{{/formula}} um mehr als eine halbe Standardabweichung nach oben vom Erwartungswert abweicht:
	78	+<br>
	79	+{{formula}}
	80	+E(X) + \sigma \approx 269{,}55
	81	+{{/formula}}
	82	+<br>
	83	+Da die Anzahl ganzzahlig sein muss, lautet die gesuchte Wahrscheinlichkeit also {{formula}}P(X \ge 270){{/formula}}.
	84	+<br>
	85	+Da der Taschenrechner nur Wahrscheinlichkeiten {{formula}}P(X\le m){{/formula}} berechnen kann, schreiben wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit um und berechnen mit binomialcdf:
	86	+{{formula}}P(X \ge 270)= 1 - P(X \le 269) \approx 1 - 0{,}841 \approx 0{,}159
	87	+{{/formula}}
	88	+<br>
	89	+Mit einer Wahrscheinlichkeit von ungefähr 15,9 % wird die Stichprobe beanstandet.
70	70	{{/detail}}
71	71
72	72	=== Teilaufgabe d) ===
...	...	@@ -91,5 +91,29 @@
91	91
92	92
93	93	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
94		-
	114	+{{formula}}Z{{/formula}}: Anzahl der Frühlingsrollen, die das vorgegebene Gewicht einhalten
	115	+<br><p>
	116	+{{formula}}Z{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}p = 0{,}83{{/formula}} und unbekanntem {{formula}}n{{/formula}}.
	117	+</p>
	118	+Gesucht ist das minimale {{formula}}n{{/formula}}, so dass gilt:
	119	+<br>
	120	+{{formula}}
	121	+\begin{align*}
	122	+P(Z \ge 20) &\ge 0{,}99 \\
	123	+\Leftrightarrow \ 1 - P(Z \le 19) &\ge 0{,}99 &&\mid -1 \\
	124	+\Leftrightarrow \ \ \ -P(Z \le 19) &\le -0{,}01 &&\mid \cdot (-1) \\
	125	+\Leftrightarrow \qquad P(Z \le 19) &\ge 0{,}01
	126	+\end{align*}
	127	+{{/formula}}
	128	+<br>
	129	+//(beachte, dass sich beim Multiplizieren mit negativen Zahlen das Ungleichheitszeichen umdreht)//
	130	+<br>
	131	+Systematisches Ausprobieren/Wertetabelle mit dem Taschenrechner (binomialcdf) ergibt:
	132	+
	133	+(% class="border" style="width:30%; text-align:center" %)
	134	+|{{formula}}n{{/formula}}|{{formula}}P(Z \le 19){{/formula}}
	135	+|29|0,018
	136	+|30|0,008
	137	+
	138	+Man muss mindestens 30 Frühlingsrollen kaufen.
95	95	{{/detail}}