Änderungen von Dokument Lösung Stochastik

Zusammenfassung

• Seiteneigenschaften (1 geändert, 0 hinzugefügt, 0 gelöscht)

Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -1,6 +1,6 @@
1	1	=== Teilaufgabe a) ===
2	2	{{detail summary="Erwartungshorizont"}}
3		-[[image:Lösunga).png||width="150" style="float: right"]]
	3	+[[image:Lösunga).png||width="150"]]
4	4	<p>
5	5	{{formula}}G{{/formula}}: Das vorgeschriebene Gewicht wird eingehalten.
6	6	</p><p>
...	...	@@ -13,6 +13,16 @@
13	13
14	14
15	15	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
	16	+//Aufgabenstellung//
	17	+<br><p>
	18	+Es werden drei Frühlingsrollen bestellt. Dabei soll untersucht werden, wie viele Frühlingsrollen das vorgegebene Gewicht unterschreiten.
	19	+<br>
	20	+Stelle den Sachverhalt durch ein geeignetes beschriftetes Baumdiagramm dar.
	21	+<br>
	22	+Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei der drei Frühlingsrollen das vorgegebene Gewicht unterschreiten.
	23	+</p>
	24	+//Lösung//
	25	+<br>
16	16	{{formula}}G{{/formula}}: Das vorgeschriebene Gewicht wird eingehalten.
17	17	<br>
18	18	[[image:Lösunga).png||width="150"]]
...	...	@@ -35,8 +35,18 @@
35	35
36	36
37	37	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
38		-Bei der gegebenen Wahrscheinlichkeit handelt sich um ein Gegenereignis, das heißt {{formula}}P(A)=1-P(\overline{A}){{/formula}} mit {{formula}}P(\overline{A})=0{,}83^{20}{{/formula}}.
	48	+//Aufgabenstellung//
	49	+<br><p>
	50	+Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses {{formula}}A{{/formula}} lässt sich wie folgt berechnen:
39	39	<br>
	52	+{{formula}} P(A)=1-0,\!83^{20} {{/formula}}
	53	+<br>
	54	+Beschreibe in der Anwendungssituation ein passendes Zufallsexperiment sowie ein mögliches Ereignis {{formula}}A{{/formula}}.
	55	+</p>
	56	+//Lösung//
	57	+<br>
	58	+Bei der gegebenen Wahrscheinlichkeit handelt sich um die Wahrscheinlichkeit eines Gegenereignisses, das heißt {{formula}}P(A)=1-P(\overline{A}){{/formula}} mit {{formula}}P(\overline{A})=0{,}83^{20}{{/formula}}.
	59	+<br>
40	40	Mit {{formula}}0{,}83^{20}{{/formula}} wird die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet, dass bei 20 bestellten Frühlingsrollen alle das vorgegebene Gewicht einhalten.
41	41	<br>
42	42	Das Gegenereignis dazu ist, dass mindestens eine Frühlingsrolle das vorgegebene Gewicht unterschreitet.
...	...	@@ -48,7 +48,6 @@
48	48	{{formula}}A{{/formula}}: Davon unterschreitet mindestens eine das vorgegebene Gewicht.
49	49	{{/detail}}
50	50
51		-
52	52	=== Teilaufgabe c) ===
53	53	{{detail summary="Erwartungshorizont"}}
54	54	Die Anzahl der Frühlingsrollen, die das vorgegebene Gewicht unterschreiten, ist binomialverteilt mit {{formula}}p = 0{,}17{{/formula}} und {{formula}}n = 1500{{/formula}}.
...	...	@@ -66,7 +66,34 @@
66	66
67	67
68	68	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
69		-
	88	+//Aufgabenstellung//
	89	+<br><p>
	90	+Die Verbraucherzentrale kontrolliert stichprobenartig das Gewicht der Frühlingsrollen. Dazu werden in einer Stichprobe 1500 Frühlingsrollen untersucht. Es erfolgt eine Beanstandung, wenn die in der Stichprobe ermittelte Anzahl der zu leichten Frühlingsrollen um mehr als eine Standardabweichung nach oben vom Erwartungswert dieser Anzahl abweicht.
	91	+Bestimme die Wahrscheinlichkeit für eine Beanstandung.
	92	+</p>
	93	+//Lösung//
	94	+<br>
	95	+Die Anzahl der Frühlingsrollen, die das vorgegebene Gewicht unterschreiten, ist binomialverteilt mit {{formula}}p = 0{,}17{{/formula}} und {{formula}}n = 1500{{/formula}}.
	96	+<br>
	97	+Die Formeln für den Erwartungswert und die Standardabweichung finden sich in der Merkhilfe.
	98	+<br>
	99	+Erwartungswert: {{formula}}E(X) = \mu=n\cdot p= 1500 \cdot 0{,}17 = 255{{/formula}}
	100	+<br>
	101	+Standardabweichung: {{formula}}\sigma = \sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{1500 \cdot 0{,}17 \cdot 0{,}83} \approx 14{,}55{{/formula}}
	102	+<p></p>
	103	+Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass {{formula}}X{{/formula}} um mehr als eine Standardabweichung nach oben vom Erwartungswert abweicht:
	104	+<br>
	105	+{{formula}}
	106	+E(X) + \sigma \approx 269{,}55
	107	+{{/formula}}
	108	+<br>
	109	+Da die Anzahl ganzzahlig sein muss, lautet die gesuchte Wahrscheinlichkeit also {{formula}}P(X \ge 270){{/formula}}.
	110	+<br>
	111	+Da der Taschenrechner nur Wahrscheinlichkeiten {{formula}}P(X\le m){{/formula}} berechnen kann, schreiben wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit um und berechnen mit binomialcdf:
	112	+{{formula}}P(X \ge 270)= 1 - P(X \le 269) \approx 1 - 0{,}841 \approx 0{,}159
	113	+{{/formula}}
	114	+<br>
	115	+Mit einer Wahrscheinlichkeit von ungefähr 15,9 % wird die Stichprobe beanstandet.
70	70	{{/detail}}
71	71
72	72	=== Teilaufgabe d) ===
...	...	@@ -91,5 +91,35 @@
91	91
92	92
93	93	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
94		-
	140	+//Aufgabenstellung//
	141	+<br><p>
	142	+Ermittle die Anzahl an Frühlingsrollen, die man mindestens kaufen muss, damit man mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99% mindestens 20 Frühlingsrollen erhält, die das vorgegebene Gewicht einhalten.
	143	+</p>
	144	+//Lösung//
	145	+<br>
	146	+{{formula}}Z{{/formula}}: Anzahl der Frühlingsrollen, die das vorgegebene Gewicht einhalten
	147	+<br><p>
	148	+{{formula}}Z{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}p = 0{,}83{{/formula}} und unbekanntem {{formula}}n{{/formula}}.
	149	+</p>
	150	+Gesucht ist das minimale {{formula}}n{{/formula}}, so dass gilt:
	151	+<br>
	152	+{{formula}}
	153	+\begin{align*}
	154	+P(Z \ge 20) &\ge 0{,}99 \\
	155	+\Leftrightarrow \ 1 - P(Z \le 19) &\ge 0{,}99 &&\mid -1 \\
	156	+\Leftrightarrow \ \ \ -P(Z \le 19) &\le -0{,}01 &&\mid \cdot (-1) \\
	157	+\Leftrightarrow \qquad P(Z \le 19) &\ge 0{,}01
	158	+\end{align*}
	159	+{{/formula}}
	160	+<br>
	161	+//(beachte, dass sich beim Multiplizieren mit negativen Zahlen das Ungleichheitszeichen umdreht)//
	162	+<br>
	163	+Systematisches Ausprobieren/Wertetabelle mit dem Taschenrechner (binomialcdf) ergibt:
	164	+
	165	+(% class="border" style="width:30%; text-align:center" %)
	166	+|{{formula}}n{{/formula}}|{{formula}}P(Z \le 19){{/formula}}
	167	+|29|0,018
	168	+|30|0,008
	169	+
	170	+Man muss mindestens 30 Frühlingsrollen kaufen.
95	95	{{/detail}}