Teilaufgabe a)
Erwartungshorizont
\(G\): Das vorgeschriebene Gewicht wird eingehalten.
\(X\): Anzahl der Frühlingsrollen, die das vorgegebene Gewicht unterschreiten
\(X\) ist binomialverteilt mit \(p = 0{,}17\) und \(n = 3\).
\(P(X \ge 2) = 1 - P(X \le 1) \approx 1 - 0{,}923 = 0{,}077\)Erläuterung der Lösung
\(G\): Das vorgeschriebene Gewicht wird eingehalten.
\(X\): Anzahl der Frühlingsrollen, die das vorgegebene Gewicht unterschreiten
\(X\) ist binomialverteilt mit \(p = 0{,}17\) und \(n = 3\).
Mindestens zwei bedeutet \(X\geq 2\). Mit dem Taschenrechner (binomialcdf) berechnen wir:\(P(X \ge 2) = 1 - P(X \le 1) \approx 1 - 0{,}923 = 0{,}077\)
Teilaufgabe b)
Erwartungshorizont
Es werden 20 Frühlingsrollen bestellt.\(A\): Davon unterschreitet mindestens eine das vorgegebene Gewicht.
Erläuterung der Lösung
Bei der gegebenen Wahrscheinlichkeit handelt sich um ein Gegenereignis, das heißt \(P(A)=1-P(\overline{A})\) mit \(P(\overline{A})=0{,}83^{20}\).Mit \(0{,}83^{20}\) wird die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet, dass bei 20 bestellten Frühlingsrollen alle das vorgegebene Gewicht einhalten.
Das Gegenereignis dazu ist, dass mindestens eine Frühlingsrolle das vorgegebene Gewicht unterschreitet. Somit lautet ein passendes Zufallsexperiment mit möglichem Ereignis \(A\):
Es werden 20 Frühlingsrollen bestellt.
\(A\): Davon unterschreitet mindestens eine das vorgegebene Gewicht.
Teilaufgabe c)
Erwartungshorizont
Die Anzahl der Frühlingsrollen, die das vorgegebene Gewicht unterschreiten, ist binomialverteilt mit \(p = 0{,}17\) und \(n = 1500\).\(E(X) = 1500 \cdot 0{,}17 = 255\) und \(\sigma = \sqrt{1500 \cdot 0{,}17 \cdot 0{,}83} \approx 14{,}55\)
\(E(X) + \sigma \approx 269{,}55; \ \ P(X \ge 270) = 1 - P(X \le 269) \approx 1 - 0{,}841 \approx 0{,}159\)
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ungefähr 15,9 % wird die Stichprobe beanstandet.
Erläuterung der Lösung
Die Anzahl der Frühlingsrollen, die das vorgegebene Gewicht unterschreiten, ist binomialverteilt mit \(p = 0{,}17\) und \(n = 1500\).Die Formeln für den Erwartungswert und die Standardabweichung finden sich in der Merkhilfe.
Erwartungswert: \(E(X) = \mu=n\cdot p= 1500 \cdot 0{,}17 = 255\)
Standardabweichung: \(\sigma = \sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{1500 \cdot 0{,}17 \cdot 0{,}83} \approx 14{,}55\) Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass \(X\) um mehr als eine halbe Standardabweichung nach oben vom Erwartungswert abweicht:
\(E(X) + \sigma \approx 269{,}55\)
Da die Anzahl ganzzahlig sein muss, lautet die gesuchte Wahrscheinlichekit also \(P(X \ge 270)\).
Da der Taschenrechner nur Wahrscheinlichkeiten \(P(X\le m)\) berechnen kann, schreiben wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit um und berechnen mit binomialcdf: \(P(X \ge 270)= 1 - P(X \le 269) \approx 1 - 0{,}841 \approx 0{,}159\)
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ungefähr 15,9 % wird die Stichprobe beanstandet.
Teilaufgabe d)
Erwartungshorizont
\(Z\): Anzahl der Frühlingsrollen, die das vorgegebene Gewicht einhalten\(Z\) ist binomialverteilt mit \(p = 0{,}83\) und unbekanntem \(n\).
Gesucht ist das minimale \(n\), so dass gilt:\(P(Z \ge 20) \ge 0{,}99 \ \Leftrightarrow \ 1 - P(Z \le 19) \ge 0{,}99 \ \Leftrightarrow \ P(Z \le 19) \le 0{,}01\)
| \(n\) | \(P(Z \le 19)\) |
| 29 | 0,018 |
| 30 | 0,008 |