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Zusammenfassung

• Seiteneigenschaften (1 geändert, 0 hinzugefügt, 0 gelöscht)
• Anhänge (0 geändert, 3 hinzugefügt, 0 gelöscht)
  • Po-ShenLoh_Quadratic.png
  • Po-ShenLoh_Quadratic_Example.png
  • Po-ShenLoh_Quadratic_Proof.png

Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -1,5 +1,75 @@
1	1	{{seiteninhalt/}}
2	2
	3	+{{aufgabe id="Arithmagon Darstellungsformen" afb="II" kompetenzen="K2, K4, K5" tags="problemlösen" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="10"}}
	4	+(% class="abc" %)
	5	+1. (((Fülle in folgenden Darstellungsformen einer Parabel die Lücken.
	6	+(% class="border slim" %)
	7	+| |{{formula}}y=\square \cdot (x-3)^2+\square{{/formula}} |
	8	+|{{formula}}y=\square \cdot (x-1)\cdot (x-\square){{/formula}} |Graph: nach unten geöffnete Parabel in KooSyS ohne Skalierung |{{formula}}y=\square x^2+\square x+\square{{/formula}}
	9	+| |{{formula}}y=\square 2\cdot (x^2+\square x+\square){{/formula}} |
	10	+
	11	+)))
	12	+1. (((Nenne die Werte der charakteristischen Größen der Parabel:
	13	+1. (((//Lage//.
	14	+i. Scheitel {{formula}}S(x_S|y_S){{/formula}} mit Symmetrieachse {{formula}}g{{/formula}} der Parabel
	15	+ii. x-Achsenabschnitte {{formula}}x_1, x_2{{/formula}} mit x-Achsenschnittpunkten {{formula}}N_1, N_2{{/formula}}
	16	+iii. y-Achsenabschnitt {{formula}}c{{/formula}} mit y-Achsenschnittpunkt {{formula}}S_y{{/formula}}
	17	+)))
	18	+1. (((//Kovariation//.
	19	+i. Steigung {{formula}}b{{/formula}} an der Stelle {{formula}}x=0{{/formula}}
	20	+ii. Krümmung {{formula}}a{{/formula}}
	21	+)))
	22	+)))
	23	+{{/aufgabe}}
	24	+
	25	+{{aufgabe id="Formen von Parabelgleichungen" afb="II" kompetenzen="K1, K5, K6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="30"}}
	26	+In der Literatur werden folgende Formen der Parabelgleichung unterschieden, wobei {{formula}}S(x_S|y_S){{/formula}} der Scheitel der Parabel sei; vgl. Merkhilfe, S. 3.
	27	+(% class="border slim" %)
	28	+|Scheitelform |{{formula}}y=a(x-x_S)^2 + y_S{{/formula}}
	29	+|Hauptform |{{formula}}y=ax^2+bx+c{{/formula}}
	30	+|Produktform |{{formula}}y=a(x-x_1)(x-x_2){{/formula}}
	31	+|Gestreckte Normalform |{{formula}}}y=a(x^2+px+q){{/formula}}
	32	+
	33	+Es gelten folgende Beziehungen zwischen den Parametern, wobei
	34	+
	35	+(% class="border slim" %)
	36	+|Nr. |Von |Zu |Beziehungen
	37	+|1 |Scheitelform |pq-Form |{{formula}}p = -2x_S, \, q = x_S^2 + y_S^*{{/formula}}
	38	+|2 |pq-Form |Scheitelform |{{formula}}x_S = -\frac{p}{2}, \, y_S^* = -\frac{p^2}{4} + q{{/formula}}
	39	+|3 |Scheitelform |Produktform |{{formula}}x_1 = x_S - \sqrt{-y_S^*}, \, x_2 = x_S + \sqrt{-y_S^*}{{/formula}}
	40	+|4 |pq-Form |Produktform |{{formula}}x_1 = -\frac{p}{2} + \sqrt{\frac{p^2}{4} - q}, \, x_2 = -\frac{p}{2} - \sqrt{\frac{p^2}{4} - q}{{/formula}}
	41	+|5 |Produktform |pq-Form |{{formula}}p = -(x_1 + x_2), \, q = x_1 x_2{{/formula}}
	42	+|6 |Produktform |Scheitelform |{{formula}}x_S = \frac{x_1 + x_2}{2}, \, y_S^* = -\frac{(x_2 - x_1)^2}{4}{{/formula}}
	43	+
	44	+//Verfahren statt Formel (Teil 1)//. Unter der Überschrift "A Simple Proof of the Quadratic Formula" (2019) veröffentlichte Po-Shen Loh einen Aufsatz (https://arxiv.org/abs/1910.06709) über eine Methode für den Darstellungswechsel zwischen //Hauptform// und //Produktform// einer quadratischen Funktion; seine Methode kombiniert auf bislang vielleicht unbekannte Weise altbekannte Ansätze.
	45	+(% class="border slim" %)
	46	+|[[image:Po-ShenLoh_Quadratic.png||width="600px"]]
	47	+
	48	+//Verfahren statt Formel (Teil 2)//. In seinem Video "Examples: A Different Way to Solve Quadrativ Equations" (https://youtu.be/XKBX0r3J-9Y?si=1RPiGiHEDIs1KFRU) stellt er seine Methode zur Lösung quadratischer Gleichungen zunächst an Beispielen und weiter allgemein vor.
	49	+(% class="border slim" %)
	50	+|[[image:Po-ShenLoh_Quadratic_Example.png||height="200px"]] {{formula}}\quad{{/formula}} |{{formula}}\quad{{/formula}} [[image:Po-ShenLoh_Quadratic_Proof.png||height="200px"]]
	51	+|(Video 27:00)|(Video 33:11)
	52	+
	53	+(% class="abc" %)
	54	+1. (((Seine dortigen Beispiele mögen hier der Übung des Darstellungswechsels dienen. Ermittle (falls möglich) aus der gegebenen Hauptform die //Produktform//. Folge in Vorgehen und Darstellung obigen Beispielen (dem konkreten und dem allgemeinen).
	55	+1. {{formula}}y=x^2-7x+12{{/formula}}
	56	+1. {{formula}}y=x^2-14x+24{{/formula}}
	57	+1. {{formula}}y=x^2-8x+13{{/formula}}
	58	+1. {{formula}}y=x^2+6x-4{{/formula}}
	59	+1. {{formula}}y=2x^2-4x-5 {{/formula}}
	60	+1. {{formula}}y=3x^2-7x+12{{/formula}}
	61	+
	62	+)))
	63	+1. (((Begründe, dass gilt:
	64	+i. {{formula}}\frac{b}{a}=p{{/formula}} und {{formula}}\frac{c}{a}=q{{/formula}}
	65	+ii. {{formula}}2x_S=x_1+x_2=-p{{/formula}} und {{formula}}x_1\cdot x_2=q{{/formula}}
	66	+iii. {{formula}}x_S=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{-p}{2}{{/formula}} und {{formula}}y_S=f(x_S){{/formula}}
	67	+)))
	68	+1. Ermittle zu den in a) gegebenen Hauptformen der Parabelgleichungen die Scheitelformen.
	69	+1. Zeige, dass die (zur Gleichung kondensierte) Methode die pq-Formel liefert.
	70	+//Anmerkung//. Dies wird am Ende des Videos gezeigt; weiter wird aus der pq-Formel die abc-Formel hergeleitet.
	71	+{{/aufgabe}}
	72	+
3	3	{{aufgabe id="Weg zur Schule" afb="I" kompetenzen="K1,K3,K4" quelle="Ute Jutt, Ronja Franke" cc="BY-SA" zeit="20"}}
4	4	Kay möchte die Laufzeit für den Weg vom Bahnhof zur Schule berechnen. Die Laufzeit wird modelliert durch die Funktion {{formula}}t{{/formula}} mit {{formula}}t(v)= \frac{d}{v}{{/formula}} (Geschwindigkeit {{formula}}v{{/formula}} in km/min; Entfernung {{formula}}d{{/formula}} in km; Laufzeit {{formula}}t(v){{/formula}} in min). Eine Messung hat ergeben, dass die Schule vom Bahnhof 5 km entfernt liegt.
5	5

Po-ShenLoh_Quadratic.png

Author

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	1	+XWiki.martinrathgeb

Größe

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Inhalt

Po-ShenLoh_Quadratic_Example.png

Author

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Po-ShenLoh_Quadratic_Proof.png

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	1	+XWiki.martinrathgeb

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