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  • Po-ShenLoh_Quadratic.png

Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -1,77 +1,5 @@
1	1	{{seiteninhalt/}}
2	2
3		-{{aufgabe id="Po-Shen Loh" afb="II" kompetenzen="K2, K4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="8"}}
4		-//Verfahren statt Formel//. Po-Shen Loh veröffentlichte eine Methode, um die Darstellung einer quadratischen Funktion zwischen der Hauptform und der Produktform zu wechseln; vgl. dazu https://arxiv.org/pdf/1910.06709.
5		-[[image:Po-ShenLoh_Quadratic.png||width="600px"]]
6		-
7		-Diese alternative Methode hat Po-Shen Loh verschiedentlich veröffentlicht, z.B. in mehreren Youtube-Videoszum Beispiel , um
8		-(% class="abc" %)
9		-1. (((Fülle in folgenden Darstellungsformen einer Geraden die Lücken.
10		-(% class="border slim" %)
11		-| |{{formula}}y=\square 3\cdot (x-1)+\square{{/formula}} |
12		-|{{formula}}y=\square \cdot (x-2){{/formula}} |Graph: fallende Gerade in KoorSyS ohne Skalierung |{{formula}}y=\square \cdot x+\square{{/formula}}
13		-| |{{formula}}\frac{x}{\square}+\frac{y}{\square}=1{{/formula}} |
14		-
15		-)))
16		-1. (((Nenne die Werte der charakteristischen Größen der Geraden:
17		-1. (((//Lage//.
18		-i) y-Achsenabschnitt {{formula}}b{{/formula}} mit y-Achsenschnittpunkt {{formula}}S_y{{/formula}}
19		-ii) x-Achsenabschnitt {{formula}}x_0{{/formula}} mit x-Achsenschnittpunkt {{formula}}S_x=N{{/formula}}
20		-)))
21		-1. (((//Kovariation//.
22		-i. Steigung {{formula}}m{{/formula}}
23		-ii. Krümmung {{formula}}a{{/formula}}
24		-)))
25		-)))
26		-{{/aufgabe}}
27		-
28		-{{aufgabe id="Arithmagon Darstellungsformen" afb="II" kompetenzen="K2, K4" tags="problemlösen" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="8"}}
29		-IN PROGRESS
30		-(% class="abc" %)
31		-1. (((Fülle in folgenden Darstellungsformen einer Geraden die Lücken.
32		-(% class="border slim" %)
33		-| |{{formula}}y=\square 3\cdot (x-1)+\square{{/formula}} |
34		-|{{formula}}y=\square \cdot (x-2){{/formula}} |Graph: fallende Gerade in KoorSyS ohne Skalierung |{{formula}}y=\square \cdot x+\square{{/formula}}
35		-| |{{formula}}\frac{x}{\square}+\frac{y}{\square}=1{{/formula}} |
36		-
37		-)))
38		-1. (((Nenne die Werte der charakteristischen Größen der Geraden:
39		-1. (((//Lage//.
40		-i) y-Achsenabschnitt {{formula}}b{{/formula}} mit y-Achsenschnittpunkt {{formula}}S_y{{/formula}}
41		-ii) x-Achsenabschnitt {{formula}}x_0{{/formula}} mit x-Achsenschnittpunkt {{formula}}S_x=N{{/formula}}
42		-)))
43		-1. (((//Kovariation//.
44		-i. Steigung {{formula}}m{{/formula}}
45		-ii. Krümmung {{formula}}a{{/formula}}
46		-)))
47		-)))
48		-{{/aufgabe}}
49		-
50		-{{aufgabe id="Formen von Parabelgleichungen" afb="II" kompetenzen="K2, K4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}
51		-IN PROGRESS
52		-In der Literatur werden folgende Formen der Parabelgleichung unterschieden, wobei {{formula}}S(x_S|y_S){{/formula}} der Scheitel der Parabel sei; vgl. Merkhilfe, S. 3.
53		-(% class="border slim" %)
54		-|Hauptform |{{formula}}y=ax^2+bx+c{{/formula}}
55		-|Scheitelform |{{formula}}y=a(x-x_S)^2 + y_S{{/formula}}
56		-|Produktform |{{formula}}y=a(x-x_1)(x-x_2){{/formula}}
57		-|Gestreckte Normalform |{{formula}}}y=a(x^2+px+q){{/formula}}
58		-
59		-(% class="abc" %)
60		-1. (((Ermittle für jede Gleichungsform {{formula}}\ldots{{/formula}}
61		-1. {{formula}}\ldots{{/formula}}, ob (und ggf. wie) sich die beiden //Winkelhalbierenden// (besondere Geraden) darstellen lassen.
62		-1. {{formula}}\ldots{{/formula}}, ob (und ggf. wie) sich die //Parallelen zu den Koordinatenachsen// (Typen besonderer Geraden) darstellen lassen.
63		-1. {{formula}}\ldots{{/formula}}, welche Werte charakteristischer Größen von {{formula}}g{{/formula}} sich direkt ablesen lassen; vgl. dazu vorausgegangenes Arithmagon.
64		-
65		-)))
66		-1. (((Erläutere, inwiefern {{formula}}\ldots{{/formula}}
67		-1. {{formula}}\ldots{{/formula}} die //Hauptform// und die //Produktform// zwei Spezialfälle der //Punkt-Steigungs-Form// sind.
68		-1. {{formula}}\ldots{{/formula}} nur die //Allgemeine Form// diese Bezeichnung mit Recht trägt; vgl. dazu a).
69		-
70		-)))
71		-1. Berechne aus den Parametern {{formula}}x_0, y_0{{/formula}} der Achsenabschnittsform die Steigung {{formula}}m{{/formula}}.
72		-{{/aufgabe}}
73		-
74		-
75	75	{{aufgabe id="Weg zur Schule" afb="I" kompetenzen="K1,K3,K4" quelle="Ute Jutt, Ronja Franke" cc="BY-SA" zeit="20"}}
76	76	Kay möchte die Laufzeit für den Weg vom Bahnhof zur Schule berechnen. Die Laufzeit wird modelliert durch die Funktion {{formula}}t{{/formula}} mit {{formula}}t(v)= \frac{d}{v}{{/formula}} (Geschwindigkeit {{formula}}v{{/formula}} in km/min; Entfernung {{formula}}d{{/formula}} in km; Laufzeit {{formula}}t(v){{/formula}} in min). Eine Messung hat ergeben, dass die Schule vom Bahnhof 5 km entfernt liegt.
77	77
...	...	@@ -138,14 +138,14 @@
138	138	Graphische Transformationen gehören zu den Grundwerkzeugen der Mathematik. Neben der Verschiebung und der Streckung in Richtung einer Koordinatenachse bzw. der Spiegelung an einer Koordinatenachse gibt es eine weitere besondere Transformation, nämlich die //Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden//, das ist die Gerade mit der Gleichung {{formula}}y=x{{/formula}}. Diese Spiegelung bewirkt den Koordinatentausch {{formula}}(x|y)\mapsto (y|x){{/formula}}, d.h., die Umkehrung {{formula}}y\mapsto x{{/formula}} der Zuordnung {{formula}}x\mapsto y{{/formula}}.
139	139	Dazu drei Beispiele: Das Spiegelbild der positiv orientierten x-Achse ({{formula}}y=0{{/formula}}, ein Funktionsgraph) ist die positiv orientierte y-Achse ({{formula}}x=0{{/formula}}, kein Funktionsgraph); das Spiegelbild der positiv orientierten y-Achse wiederum ist die positiv orientierte x-Achse; das Spiegelbild der Normalparabel ({{formula}}y=x^2{{/formula}}, ein Funktionsgraph) sind die beiden Wurzeläste ({{formula}}y=\pm \sqrt{x}{{/formula}}) zusammengenommen (kein Funktionsgraph). Betrachten wir das dritte Beispiel genauer: Um aus der Gleichung {{formula}}y=x^2{{/formula}} rechnerisch die Gleichung {{formula}}y=\pm \sqrt{x}{{/formula}} zu ermitteln, löst man zunächst die Gleichung {{formula}}y=x^2{{/formula}} nach {{formula}}x{{/formula}} auf und tauscht dann in der erhaltenen Gleichung {{formula}}x=\pm \sqrt{y}{{/formula}} noch die Variablen gegeneinander aus ({{formula}}y=\pm \sqrt{x}{{/formula}}).
140	140
141		-Betrachte nun die folgenden drei Gleichungen zu den nachfolgenden Funktionsgraphen: {{formula}}y=2x{{/formula}}, {{formula}}y=(x+2)^2{{/formula}} und {{formula}}y=x^3{{/formula}}.
	69	+Betrachte nun die folgenden drei Gleichungen zu den nachfolgenden Graphen: {{formula}}y=2x{{/formula}}, {{formula}}y=(x+2)^2{{/formula}} und {{formula}}y=x^3{{/formula}}.
142	142	[[image:Einheitsuebergreifend2.png||width="400px"]]
143	143
144	144	(% class="abc" %)
145		-1. Löse die Gleichungen jeweils nach {{formula}}x{{/formula}} auf; du erhältst damit für {{formula}}x{{/formula}} einen Funktionsterm {{formula}}x(y){{/formula}} in {{formula}}y{{/formula}}.
146		-1. Führe in den in a) berechneten Termen {{formula}}x(y){{/formula}} den Variablentausch durch, zeichne die Graphen der Umkehrungen zusätzlich ins Koordinatensystem ein und untersuche, wie die Paare von Graphen zur ersten Winkelhalbierenden liegen.
147		-1. Die in a) berechneten Terme {{formula}}x(y){{/formula}} sind insbesondere in Monotonieintervallen von {{formula}}f{{/formula}} Funktionsterme von Umkehrfunktionen {{formula}}f^{-1}{{/formula}}. Untersuche die Ausdrücke {{formula}}f^{-1}(y){{/formula}}, indem du {{formula}}f(x){{/formula}} für {{formula}}y{{/formula}} einsetzt, und beschreibe, was dir (an der jeweiligen Vereinfachung) auffällt.
148		-1. Abschließend stellt sich die Frage: Weshalb der Definitionsbereich der Funktionen {{formula}}f{{/formula}} (z.B. auf ein Monotonieintervall) verkleinert werden muss, um eine Umkehrfunktion zu erhalten? Begründe diese Einschränkung mit den Ergebnissen aus a) und b).
	73	+1. Löse die Gleichung jeweils nach //x// auf; du erhältst damit für //x// einen Funktionsterm in //y//.
	74	+1. Zeichne die Graphen der Umkehrungen zusätzlich ins Koordinatensystem ein und untersuche, wie die Paare von Graphen zur ersten Winkelhalbierenden liegen.
	75	+1. Die in a) berechneten Terme sind die Funktionsterme von Umkehrfunktionen ({{formula}}f^{-1}{{/formula}}) von Funktionen {{formula}}f{{/formula}}. Untersuche jeweils den Ausdruck {{formula}}f^{-1}(y){{/formula}}, indem du {{formula}}f(x){{/formula}} für //y// einsetzt, und beschreibe, was dir (an der jeweiligen Vereinfachung) auffällt.
	76	+1. Abschließend stellt sich die Frage: Weshalb der Definitionsbereich der Funktionen //f// (z.B. auf ein Monotonieintervall) verkleinert werden muss, um eine Umkehrfunktion zu erhalten? Begründe diese Einschränkung mit den Ergebnissen aus a) und b).
149	149	{{/aufgabe}}
150	150
151	151	{{matrix/}}

Po-ShenLoh_Quadratic.png

Author

...	...	@@ -1,1 +1,0 @@
1		-XWiki.martinrathgeb

Größe

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1		-98.4 KB

Inhalt