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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -1,65 +1,28 @@
1	1	{{seiteninhalt/}}
2	2
3		-{{aufgabe id="Po-Shen Loh" afb="II" kompetenzen="K2, K4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="8"}}
4		-//Verfahren statt Formel//. Unter der Überschrift //A Simple Proof of the Quadratic Formula// (2019) veröffentlichte Po-Shen Loh einen Aufsatz (https://arxiv.org/abs/1910.06709) über eine Methode für den Darstellungswechsel zwischen //Hauptform// und //Produktform// einer quadratischen Funktion; seine Methode kombiniert auf bislang vielleicht unbekannte Weise altbekannte Ansätze.
5		-(% class="border slim" %)
6		-|[[image:Po-ShenLoh_Quadratic.png||width="600px"]]
7		-
8		-In seinem Video "Examples: A Different Way to Solve Quadrativ Equations"(https://youtu.be/XKBX0r3J-9Y?si=1RPiGiHEDIs1KFRU) stellt er die Methode zur Lösung quadratischer Gleichungen vor.
9		-(% class="border slim" %)
10		-|[[image:Po-ShenLoh_Quadratic_Proof.png||height="200px"]] {{formula}}\quad{{/formula}}|{{formula}}\quad{{/formula}} [[image:Po-ShenLoh_Quadratic_Example.png||height="200px"]]
	3	+{{aufgabe id="Arithmagon Darstellungsformen" afb="II" kompetenzen="K2, K4, K5" tags="problemlösen" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="10"}}
11	11	(% class="abc" %)
12		-1. (((Seine dortigen Beispiele mögen hier der Übung des Darstellungswechsels dienen.
13		-1. {{formula}}f(x)=x^2-7x+12{{/formula}}
14		-1. {{formula}}f(x)=x^2-14x+22{{/formula}}
15		-1. {{formula}}f(x)=x^2-7x+12{{/formula}}
16		-1. {{formula}}f(x)=x^2-8x+13{{/formula}}
17		-1. {{formula}}f(x)=x^2+6x-4{{/formula}}
18		-1. {{formula}}f(x)=2x^2-4x-5 {{/formula}}
19		-
20		-)))
21		-1. Am Ende des Videos wird gezeigt, dass die Methode die pq-Formel und die abc-Formel bewiesen.
22		-1. (((Ermittle für jede Gleichungsform {{formula}}\ldots{{/formula}}
23		-1. {{formula}}\ldots{{/formula}}, ob (und ggf. wie) sich die beiden //Winkelhalbierenden// (besondere Geraden) darstellen lassen.
24		-1. {{formula}}\ldots{{/formula}}, ob (und ggf. wie) sich die //Parallelen zu den Koordinatenachsen// (Typen besonderer Geraden) darstellen lassen.
25		-1. {{formula}}\ldots{{/formula}}, welche Werte charakteristischer Größen von {{formula}}g{{/formula}} sich direkt ablesen lassen; vgl. dazu vorausgegangenes Arithmagon.
26		-
27		-1. (((Nenne die Werte der charakteristischen Größen der Geraden:
28		-1. (((//Lage//.
29		-i) y-Achsenabschnitt {{formula}}b{{/formula}} mit y-Achsenschnittpunkt {{formula}}S_y{{/formula}}
30		-ii) x-Achsenabschnitt {{formula}}x_0{{/formula}} mit x-Achsenschnittpunkt {{formula}}S_x=N{{/formula}}
31		-)))
32		-1. (((//Kovariation//.
33		-i. Steigung {{formula}}m{{/formula}}
34		-ii. Krümmung {{formula}}a{{/formula}}
35		-)))
36		-)))
37		-{{/aufgabe}}
38		-
39		-{{aufgabe id="Arithmagon Darstellungsformen" afb="II" kompetenzen="K2, K4" tags="problemlösen" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="8"}}
40		-IN PROGRESS
41		-(% class="abc" %)
42		-1. (((Fülle in folgenden Darstellungsformen einer Geraden die Lücken.
	5	+1. (((Fülle in folgenden Darstellungsformen einer Parabel die Lücken.
43	43	(% class="border slim" %)
44		-| |{{formula}}y=\square 3\cdot (x-1)+\square{{/formula}} |
45		-|{{formula}}y=\square \cdot (x-2){{/formula}} |Graph: fallende Gerade in KoorSyS ohne Skalierung |{{formula}}y=\square \cdot x+\square{{/formula}}
46		-| |{{formula}}\frac{x}{\square}+\frac{y}{\square}=1{{/formula}} |
	7	+| |{{formula}}y=\square \cdot (x-3)^2+\square{{/formula}} |
	8	+|{{formula}}y=\square \cdot (x-1)\cdot (x-\square){{/formula}} |Graph: nach unten geöffnete Parabel in KooSyS ohne Skalierung |{{formula}}y=\square x^2+\square x+\square{{/formula}}
	9	+| |{{formula}}y=\square 2\cdot (x^2+\square x+\square){{/formula}} |
47	47
48	48	)))
49		-1. (((Nenne die Werte der charakteristischen Größen der Geraden:
	12	+1. (((Nenne die Werte der charakteristischen Größen der Parabel:
50	50	1. (((//Lage//.
51		-i) y-Achsenabschnitt {{formula}}b{{/formula}} mit y-Achsenschnittpunkt {{formula}}S_y{{/formula}}
52		-ii) x-Achsenabschnitt {{formula}}x_0{{/formula}} mit x-Achsenschnittpunkt {{formula}}S_x=N{{/formula}}
	14	+i. Scheitel {{formula}}S(x_S|y_S){{/formula}} mit Symmetrieachse {{formula}}g{{/formula}} der Parabel
	15	+ii. x-Achsenabschnitte {{formula}}x_1, x_2{{/formula}} mit x-Achsenschnittpunkten {{formula}}N_1, N_2{{/formula}}
	16	+iii. y-Achsenabschnitt {{formula}}c{{/formula}} mit y-Achsenschnittpunkt {{formula}}S_y{{/formula}}
53	53	)))
54	54	1. (((//Kovariation//.
55		-i. Steigung {{formula}}m{{/formula}}
	19	+i. Steigung {{formula}}b{{/formula}} an der Stelle {{formula}}x=0{{/formula}}
56	56	ii. Krümmung {{formula}}a{{/formula}}
57	57	)))
58	58	)))
59	59	{{/aufgabe}}
60	60
61		-{{aufgabe id="Formen von Parabelgleichungen" afb="II" kompetenzen="K2, K4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}
62		-IN PROGRESS
	25	+{{aufgabe id="Formen von Parabelgleichungen" afb="II" kompetenzen="K1, K5, K6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="30"}}
63	63	In der Literatur werden folgende Formen der Parabelgleichung unterschieden, wobei {{formula}}S(x_S|y_S){{/formula}} der Scheitel der Parabel sei; vgl. Merkhilfe, S. 3.
64	64	(% class="border slim" %)
65	65	|Hauptform |{{formula}}y=ax^2+bx+c{{/formula}}
...	...	@@ -67,22 +67,39 @@
67	67	|Produktform |{{formula}}y=a(x-x_1)(x-x_2){{/formula}}
68	68	|Gestreckte Normalform |{{formula}}}y=a(x^2+px+q){{/formula}}
69	69
	33	+Die //Normalparabel// ist Funktionsgraph der quadratischen Potenzfunktion mit {{formula}}y=x^2{{/formula}}. Die kanonischen //Transformationen// (Spiegelung, Streckung, Verschiebung jeweils bezogen auf die orientierten Koordinatenachsen; vgl. Merkhilfe, S. 4) der Normalparabel liefern weitere Parabeln als Funktionsgraphen mit Parabelgleichungen in //Scheitelform//. Ausmultiplizieren liefert die zugehörige //Hauptform//, das ist zumeist eine Linearkombination der drei Potenzfunktionen vom Grad {{formula}}\le 2{{/formula}}: die konstante Funktion mit {{formula}}y=1{{/formula}} (die Potenzfunktion vom Grad 0), proportionale Funktion mit {{formula}}y=x{{/formula}} (die Potenzfunktion vom Grad 1) und quadratische Funktion mit {{formula}}y=x^2{{/formula}} (die Potenzfunktion vom Grad 2). Der Darstellungswechsel zur //Produktform// ist schwieriger, aber auf verschiedene Weisen zugänglich. Wir folgen hier dem Darstellungswechsel nach //Po-Shen Loh//.
	34	+
	35	+//Verfahren statt Formel (Teil 1)//. Unter der Überschrift "A Simple Proof of the Quadratic Formula" (2019) veröffentlichte Po-Shen Loh einen Aufsatz (https://arxiv.org/abs/1910.06709) über eine Methode für den Darstellungswechsel zwischen //Hauptform// und //Produktform// einer quadratischen Funktion; seine Methode kombiniert auf bislang vielleicht unbekannte Weise altbekannte Ansätze.
	36	+(% class="border slim" %)
	37	+|[[image:Po-ShenLoh_Quadratic.png||width="600px"]]
	38	+
	39	+//Verfahren statt Formel (Teil 2)//. In seinem Video "Examples: A Different Way to Solve Quadrativ Equations" (https://youtu.be/XKBX0r3J-9Y?si=1RPiGiHEDIs1KFRU) stellt er seine Methode zur Lösung quadratischer Gleichungen zunächst an Beispielen und weiter allgemein vor.
	40	+(% class="border slim" %)
	41	+|{{formula}}\quad{{/formula}} [[image:Po-ShenLoh_Quadratic_Example.png||height="200px"]] | [[image:Po-ShenLoh_Quadratic_Proof.png||height="200px"]] {{formula}}\quad{{/formula}}
	42	+
	43	+//Anmerkung//. Der Kern des Verfahrens ist die Symmetrisierung: Die //zwei// Nullstellen weichen nämlich von der Hälfte ihrer Summe (das ist die x-Koordinate {{formula}}x_S{{/formula}} des Scheitels) um den gleichen Wert {{formula}}u{{/formula}} (das ist die Diskriminante, an der sich die Lösbarkeit der Gleichung erkennen lässt) nach oben bzw. unten ab. Ausgehend von ihrem Produkt lässt sich diese //eine// Abweichung {{formula}}u{{/formula}} infolge der dritten binomischen Formel als Lösung einer //rein-quadratischen// Gleichung ermitteln.
	44	+
70	70	(% class="abc" %)
71		-1. (((Ermittle für jede Gleichungsform {{formula}}\ldots{{/formula}}
72		-1. {{formula}}\ldots{{/formula}}, ob (und ggf. wie) sich die beiden //Winkelhalbierenden// (besondere Geraden) darstellen lassen.
73		-1. {{formula}}\ldots{{/formula}}, ob (und ggf. wie) sich die //Parallelen zu den Koordinatenachsen// (Typen besonderer Geraden) darstellen lassen.
74		-1. {{formula}}\ldots{{/formula}}, welche Werte charakteristischer Größen von {{formula}}g{{/formula}} sich direkt ablesen lassen; vgl. dazu vorausgegangenes Arithmagon.
	46	+1. (((Seine dortigen Beispiele mögen hier der Übung des Darstellungswechsels dienen. Ermittle (falls möglich) aus der gegebenen Hauptform die //Produktform//.
	47	+1. {{formula}}y=x^2-7x+12{{/formula}}
	48	+1. {{formula}}y=x^2-14x+22{{/formula}}
	49	+1. {{formula}}y=x^2-7x+12{{/formula}}
	50	+1. {{formula}}y=x^2-8x+13{{/formula}}
	51	+1. {{formula}}y=x^2+6x-4{{/formula}}
	52	+1. {{formula}}y=2x^2-4x-5 {{/formula}}
75	75
76	76	)))
77		-1. (((Erläutere, inwiefern {{formula}}\ldots{{/formula}}
78		-1. {{formula}}\ldots{{/formula}} die //Hauptform// und die //Produktform// zwei Spezialfälle der //Punkt-Steigungs-Form// sind.
79		-1. {{formula}}\ldots{{/formula}} nur die //Allgemeine Form// diese Bezeichnung mit Recht trägt; vgl. dazu a).
80		-
	55	+1. Zeige, dass die (zur Gleichung kondensierte) Methode die pq-Formel liefert.
	56	+//Anmerkung//. Dies wird am Ende des Videos gezeigt; weiter wird aus der pq-Formel die abc-Formel hergeleitet.
	57	+1. (((Begründe, dass gilt:
	58	+i. {{formula}}x_S=\frac{p}{2}{{/formula}}
	59	+ii. {{formula}}x_S=\frac{b}{2a}{{/formula}}
	60	+iii. {{formula}}x_S=\frac{x_1+x_2}{2}{{/formula}}
	61	+iv. {{formula}}y_S=f(x_S){{/formula}}
81	81	)))
82		-1. Berechne aus den Parametern {{formula}}x_0, y_0{{/formula}} der Achsenabschnittsform die Steigung {{formula}}m{{/formula}}.
	63	+1. Ermittle zu den in a) gegebenen Hauptformen der Parabelgleichungen die Scheitelformen.
83	83	{{/aufgabe}}
84	84
85		-
86	86	{{aufgabe id="Weg zur Schule" afb="I" kompetenzen="K1,K3,K4" quelle="Ute Jutt, Ronja Franke" cc="BY-SA" zeit="20"}}
87	87	Kay möchte die Laufzeit für den Weg vom Bahnhof zur Schule berechnen. Die Laufzeit wird modelliert durch die Funktion {{formula}}t{{/formula}} mit {{formula}}t(v)= \frac{d}{v}{{/formula}} (Geschwindigkeit {{formula}}v{{/formula}} in km/min; Entfernung {{formula}}d{{/formula}} in km; Laufzeit {{formula}}t(v){{/formula}} in min). Eine Messung hat ergeben, dass die Schule vom Bahnhof 5 km entfernt liegt.
88	88