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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -1,34 +1,11 @@
1	1	{{seiteninhalt/}}
2	2
3		-{{aufgabe id="Po-Shen Loh" afb="II" kompetenzen="K2, K4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="20"}}
4		-//Verfahren statt Formel// (Teil 1). Unter der Überschrift "A Simple Proof of the Quadratic Formula" (2019) veröffentlichte Po-Shen Loh einen Aufsatz (https://arxiv.org/abs/1910.06709) über eine Methode für den Darstellungswechsel zwischen //Hauptform// und //Produktform// einer quadratischen Funktion; seine Methode kombiniert auf bislang vielleicht unbekannte Weise altbekannte Ansätze.
5		-(% class="border slim" %)
6		-|[[image:Po-ShenLoh_Quadratic.png||width="600px"]]
7		-
8		-//Verfahren statt Formel// (Teil 2). In seinem Video "Examples: A Different Way to Solve Quadrativ Equations" (https://youtu.be/XKBX0r3J-9Y?si=1RPiGiHEDIs1KFRU) stellt er die Methode zur Lösung quadratischer Gleichungen vor.
9		-(% class="border slim" %)
10		-|[[image:Po-ShenLoh_Quadratic_Proof.png||height="200px"]] {{formula}}\quad{{/formula}}|{{formula}}\quad{{/formula}} [[image:Po-ShenLoh_Quadratic_Example.png||height="200px"]]
	3	+{{aufgabe id="Arithmagon Darstellungsformen" afb="II" kompetenzen="K2, K4, K5" tags="problemlösen" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="10"}}
11	11	(% class="abc" %)
12		-1. (((Seine dortigen Beispiele mögen hier der Übung des Darstellungswechsels dienen. Ermittle (falls möglich) die Produktform der Funktionsgleichung.
13		-1. {{formula}}f(x)=x^2-7x+12{{/formula}}
14		-1. {{formula}}f(x)=x^2-14x+22{{/formula}}
15		-1. {{formula}}f(x)=x^2-7x+12{{/formula}}
16		-1. {{formula}}f(x)=x^2-8x+13{{/formula}}
17		-1. {{formula}}f(x)=x^2+6x-4{{/formula}}
18		-1. {{formula}}f(x)=2x^2-4x-5 {{/formula}}
19		-
20		-)))
21		-1. Zeige, dass die (zur Gleichung kondensierte) Methode die pq-Formel liefert.
22		-//Anmerkung//. Dies wird am Ende des Videos gezeigt; weiter wird aus der pq-Formel die abc-Formel hergeleitet.
23		-{{/aufgabe}}
24		-
25		-{{aufgabe id="Arithmagon Darstellungsformen" afb="II" kompetenzen="K2, K4" tags="problemlösen" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="8"}}
26		-IN PROGRESS
27		-(% class="abc" %)
28	28	1. (((Fülle in folgenden Darstellungsformen einer Parabel die Lücken.
29	29	(% class="border slim" %)
30	30	| |{{formula}}y=\square \cdot (x-3)^2+\square{{/formula}} |
31		-|{{formula}}y=\square (x-1)(x-\square){{/formula}} |Graph: nach unten geöffnete Parabel in KoorSyS ohne Skalierung |{{formula}}y=\square x^2+\square x+\square{{/formula}}
	8	+|{{formula}}y=\square \cdot (x-1)\cdot (x-\square){{/formula}} |Graph: nach unten geöffnete Parabel in KooSyS ohne Skalierung |{{formula}}y=\square x^2+\square x+\square{{/formula}}
32	32	| |{{formula}}y=\square 2\cdot (x^2+\square x+\square){{/formula}} |
33	33
34	34	)))
...	...	@@ -45,8 +45,7 @@
45	45	)))
46	46	{{/aufgabe}}
47	47
48		-{{aufgabe id="Formen von Parabelgleichungen" afb="II" kompetenzen="K2, K4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}
49		-IN PROGRESS
	25	+{{aufgabe id="Formen von Parabelgleichungen" afb="II" kompetenzen="K1, K5, K6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="30"}}
50	50	In der Literatur werden folgende Formen der Parabelgleichung unterschieden, wobei {{formula}}S(x_S|y_S){{/formula}} der Scheitel der Parabel sei; vgl. Merkhilfe, S. 3.
51	51	(% class="border slim" %)
52	52	|Hauptform |{{formula}}y=ax^2+bx+c{{/formula}}
...	...	@@ -54,22 +54,39 @@
54	54	|Produktform |{{formula}}y=a(x-x_1)(x-x_2){{/formula}}
55	55	|Gestreckte Normalform |{{formula}}}y=a(x^2+px+q){{/formula}}
56	56
	33	+Die //Normalparabel// ist Funktionsgraph der quadratischen Potenzfunktion mit {{formula}}y=x^2{{/formula}}. Die kanonischen //Transformationen// (Spiegelung, Streckung, Verschiebung jeweils bezogen auf die orientierten Koordinatenachsen; vgl. Merkhilfe, S. 4) der Normalparabel liefern weitere Parabeln als Funktionsgraphen mit Parabelgleichungen in //Scheitelform//. Ausmultiplizieren liefert die zugehörige //Hauptform//, das ist zumeist eine Linearkombination der drei Potenzfunktionen vom Grad {{formula}}\le 2{{/formula}}: die konstante Funktion mit {{formula}}y=1{{/formula}} (die Potenzfunktion vom Grad 0), proportionale Funktion mit {{formula}}y=x{{/formula}} (die Potenzfunktion vom Grad 1) und quadratische Funktion mit {{formula}}y=x^2{{/formula}} (die Potenzfunktion vom Grad 2). Der Darstellungswechsel zur //Produktform// ist schwieriger, aber auf verschiedene Weisen zugänglich. Wir folgen hier dem Darstellungswechsel nach //Po-Shen Loh//.
	34	+
	35	+//Verfahren statt Formel (Teil 1)//. Unter der Überschrift "A Simple Proof of the Quadratic Formula" (2019) veröffentlichte Po-Shen Loh einen Aufsatz (https://arxiv.org/abs/1910.06709) über eine Methode für den Darstellungswechsel zwischen //Hauptform// und //Produktform// einer quadratischen Funktion; seine Methode kombiniert auf bislang vielleicht unbekannte Weise altbekannte Ansätze.
	36	+(% class="border slim" %)
	37	+|[[image:Po-ShenLoh_Quadratic.png||width="600px"]]
	38	+
	39	+//Verfahren statt Formel (Teil 2)//. In seinem Video "Examples: A Different Way to Solve Quadrativ Equations" (https://youtu.be/XKBX0r3J-9Y?si=1RPiGiHEDIs1KFRU) stellt er seine Methode zur Lösung quadratischer Gleichungen zunächst an Beispielen und weiter allgemein vor.
	40	+(% class="border slim" %)
	41	+|[[image:Po-ShenLoh_Quadratic_Example.png||height="200px"]] {{formula}}\quad{{/formula}} |{{formula}}\quad{{/formula}} [[image:Po-ShenLoh_Quadratic_Proof.png||height="200px"]]
	42	+|(Video 27:00)|(Video 33:11)
	43	+
	44	+//Anmerkung//. Der Kern des Verfahrens ist die Symmetrisierung: Die //zwei// Nullstellen weichen nämlich von der Hälfte ihrer Summe (das ist die x-Koordinate {{formula}}x_S{{/formula}} des Scheitels) um den gleichen Wert {{formula}}u{{/formula}} (das ist die Diskriminante, an der sich die Lösbarkeit der Gleichung erkennen lässt) nach oben bzw. unten ab. Ausgehend von ihrem Produkt lässt sich diese //eine// Abweichung {{formula}}u{{/formula}} infolge der dritten binomischen Formel als Lösung einer //rein-quadratischen// Gleichung ermitteln.
	45	+
57	57	(% class="abc" %)
58		-1. (((Ermittle für jede Gleichungsform {{formula}}\ldots{{/formula}}
59		-1. {{formula}}\ldots{{/formula}}, ob (und ggf. wie) sich die beiden //Winkelhalbierenden// (besondere Geraden) darstellen lassen.
60		-1. {{formula}}\ldots{{/formula}}, ob (und ggf. wie) sich die //Parallelen zu den Koordinatenachsen// (Typen besonderer Geraden) darstellen lassen.
61		-1. {{formula}}\ldots{{/formula}}, welche Werte charakteristischer Größen von {{formula}}g{{/formula}} sich direkt ablesen lassen; vgl. dazu vorausgegangenes Arithmagon.
	47	+1. (((Seine dortigen Beispiele mögen hier der Übung des Darstellungswechsels dienen. Ermittle (falls möglich) aus der gegebenen Hauptform die //Produktform//. Folge in Vorgehen und Darstellung obigen Beispielen (dem konkreten und dem allgemeinen).
	48	+1. {{formula}}y=x^2-7x+12{{/formula}}
	49	+1. {{formula}}y=x^2-14x+24{{/formula}}
	50	+1. {{formula}}y=x^2-8x+13{{/formula}}
	51	+1. {{formula}}y=x^2+6x-4{{/formula}}
	52	+1. {{formula}}y=2x^2-4x-5 {{/formula}}
	53	+1. {{formula}}y=3x^2-7x+12{{/formula}}
62	62
63	63	)))
64		-1. (((Erläutere, inwiefern {{formula}}\ldots{{/formula}}
65		-1. {{formula}}\ldots{{/formula}} die //Hauptform// und die //Produktform// zwei Spezialfälle der //Punkt-Steigungs-Form// sind.
66		-1. {{formula}}\ldots{{/formula}} nur die //Allgemeine Form// diese Bezeichnung mit Recht trägt; vgl. dazu a).
67		-
	56	+1. (((Begründe, dass gilt:
	57	+i. {{formula}}\frac{b}{a}=p{{/formula}} und {{formula}}\frac{c}{a}=q{{/formula}}
	58	+ii. {{formula}}2x_S=x_1+x_2=-p{{/formula}} und {{formula}}x_1\cdot x_2=q{{/formula}}
	59	+iii. {{formula}}x_S=\frac{x_1+x_2}{2}{{/formula}} und {{formula}}y_S=f(x_S){{/formula}}
68	68	)))
69		-1. Berechne aus den Parametern {{formula}}x_0, y_0{{/formula}} der Achsenabschnittsform die Steigung {{formula}}m{{/formula}}.
	61	+1. Ermittle zu den in a) gegebenen Hauptformen der Parabelgleichungen die Scheitelformen.
	62	+1. Zeige, dass die (zur Gleichung kondensierte) Methode die pq-Formel liefert.
	63	+//Anmerkung//. Dies wird am Ende des Videos gezeigt; weiter wird aus der pq-Formel die abc-Formel hergeleitet.
70	70	{{/aufgabe}}
71	71
72		-
73	73	{{aufgabe id="Weg zur Schule" afb="I" kompetenzen="K1,K3,K4" quelle="Ute Jutt, Ronja Franke" cc="BY-SA" zeit="20"}}
74	74	Kay möchte die Laufzeit für den Weg vom Bahnhof zur Schule berechnen. Die Laufzeit wird modelliert durch die Funktion {{formula}}t{{/formula}} mit {{formula}}t(v)= \frac{d}{v}{{/formula}} (Geschwindigkeit {{formula}}v{{/formula}} in km/min; Entfernung {{formula}}d{{/formula}} in km; Laufzeit {{formula}}t(v){{/formula}} in min). Eine Messung hat ergeben, dass die Schule vom Bahnhof 5 km entfernt liegt.
75	75