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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -1,37 +1,11 @@
1	1	{{seiteninhalt/}}
2	2
3		-{{aufgabe id="Po-Shen Loh" afb="II" kompetenzen="K2, K4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="20"}}
4		-//Verfahren statt Formel// (Teil 1). Unter der Überschrift "A Simple Proof of the Quadratic Formula" (2019) veröffentlichte Po-Shen Loh einen Aufsatz (https://arxiv.org/abs/1910.06709) über eine Methode für den Darstellungswechsel zwischen //Hauptform// und //Produktform// einer quadratischen Funktion; seine Methode kombiniert auf bislang vielleicht unbekannte Weise altbekannte Ansätze.
5		-(% class="border slim" %)
6		-|[[image:Po-ShenLoh_Quadratic.png||width="600px"]]
7		-
8		-//Verfahren statt Formel// (Teil 2). In seinem Video "Examples: A Different Way to Solve Quadrativ Equations" (https://youtu.be/XKBX0r3J-9Y?si=1RPiGiHEDIs1KFRU) stellt er seine Methode zur Lösung quadratischer Gleichungen zunächst an Beispielen und weiter allgemein vor.
9		-(% class="border slim" %)
10		-|{{formula}}\quad{{/formula}} [[image:Po-ShenLoh_Quadratic_Example.png||height="200px"]] | [[image:Po-ShenLoh_Quadratic_Proof.png||height="200px"]] {{formula}}\quad{{/formula}}
11		-
12		-//Anmerkung//. Der Kern des Verfahrens ist die Symmetrisierung: Die //zwei// Nullstellen weichen nämlich von der Hälfte ihrer Summe (das ist die x-Koordinate {{formula}}x_S{{/formula}} des Scheitels) um den gleichen Wert {{formula}}u{{/formula}} (das ist die Diskriminante, an der sich die Lösbarkeit der Gleichung erkennen lässt) nach oben bzw. unten ab. Ausgehend von ihrem Produkt lässt sich diese //eine// Abweichung {{formula}}u{{/formula}} infolge der dritten binomischen Formel als Lösung einer //rein-quadratischen// Gleichung ermitteln.
13		-
	3	+{{aufgabe id="Arithmagon Darstellungsformen" afb="II" kompetenzen="K2, K4, K5" tags="problemlösen" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="10"}}
14	14	(% class="abc" %)
15		-1. (((Seine dortigen Beispiele mögen hier der Übung des Darstellungswechsels dienen. Ermittle (falls möglich) die Produktform der Funktionsgleichung.
16		-1. {{formula}}f(x)=x^2-7x+12{{/formula}}
17		-1. {{formula}}f(x)=x^2-14x+22{{/formula}}
18		-1. {{formula}}f(x)=x^2-7x+12{{/formula}}
19		-1. {{formula}}f(x)=x^2-8x+13{{/formula}}
20		-1. {{formula}}f(x)=x^2+6x-4{{/formula}}
21		-1. {{formula}}f(x)=2x^2-4x-5 {{/formula}}
22		-
23		-)))
24		-1. Zeige, dass die (zur Gleichung kondensierte) Methode die pq-Formel liefert.
25		-//Anmerkung//. Dies wird am Ende des Videos gezeigt; weiter wird aus der pq-Formel die abc-Formel hergeleitet.
26		-{{/aufgabe}}
27		-
28		-{{aufgabe id="Arithmagon Darstellungsformen" afb="II" kompetenzen="K2, K4" tags="problemlösen" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="8"}}
29		-IN PROGRESS
30		-(% class="abc" %)
31	31	1. (((Fülle in folgenden Darstellungsformen einer Parabel die Lücken.
32	32	(% class="border slim" %)
33	33	| |{{formula}}y=\square \cdot (x-3)^2+\square{{/formula}} |
34		-|{{formula}}y=\square (x-1)(x-\square){{/formula}} |Graph: nach unten geöffnete Parabel in KoorSyS ohne Skalierung |{{formula}}y=\square x^2+\square x+\square{{/formula}}
	8	+|{{formula}}y=\square \cdot (x-1)\cdot (x-\square){{/formula}} |Graph: nach unten geöffnete Parabel in KooSyS ohne Skalierung |{{formula}}y=\square x^2+\square x+\square{{/formula}}
35	35	| |{{formula}}y=\square 2\cdot (x^2+\square x+\square){{/formula}} |
36	36
37	37	)))
...	...	@@ -48,31 +48,48 @@
48	48	)))
49	49	{{/aufgabe}}
50	50
51		-{{aufgabe id="Formen von Parabelgleichungen" afb="II" kompetenzen="K2, K4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}
52		-IN PROGRESS
	25	+{{aufgabe id="Formen von Parabelgleichungen" afb="II" kompetenzen="K1, K5, K6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="30"}}
53	53	In der Literatur werden folgende Formen der Parabelgleichung unterschieden, wobei {{formula}}S(x_S|y_S){{/formula}} der Scheitel der Parabel sei; vgl. Merkhilfe, S. 3.
54		-(% class="border slim" %)
55		-|Hauptform |{{formula}}y=ax^2+bx+c{{/formula}}
	27	+(% class="border" %)
56	56	|Scheitelform |{{formula}}y=a(x-x_S)^2 + y_S{{/formula}}
	29	+|Hauptform |{{formula}}y=ax^2+bx+c{{/formula}}
57	57	|Produktform |{{formula}}y=a(x-x_1)(x-x_2){{/formula}}
58	58	|Gestreckte Normalform |{{formula}}}y=a(x^2+px+q){{/formula}}
59	59
	33	+Es gelten folgende Beziehungen zwischen den Parametern, wobei der übersichtlicheren Notation wegen die Bezeichnung {{formula}}}y_S^*=\frac{y_S^*}{a}{{/formula}} verwendet wurde.
	34	+
	35	+(% class="border" %)
	36	+|Nr. |Von |Zu |Beziehungen
	37	+|1 |Scheitelform |pq-Form |{{formula}}p = -2x_S, \, q = x_S^2 + y_S^*{{/formula}}
	38	+|2 |pq-Form |Scheitelform |{{formula}}x_S = -\frac{p}{2}, \, y_S^* = -\frac{p^2}{4} + q{{/formula}}
	39	+|3 |Scheitelform |Produktform |{{formula}}x_1 = x_S - \sqrt{-y_S^*}, \, x_2 = x_S + \sqrt{-y_S^*}{{/formula}}
	40	+|4 |pq-Form |Produktform |{{formula}}x_1 = -\frac{p}{2} + \sqrt{\frac{p^2}{4} - q}, \, x_2 = -\frac{p}{2} - \sqrt{\frac{p^2}{4} - q}{{/formula}}
	41	+|5 |Produktform |pq-Form |{{formula}}p = -(x_1 + x_2), \, q = x_1 x_2{{/formula}}
	42	+|6 |Produktform |Scheitelform |{{formula}}x_S = \frac{x_1 + x_2}{2}, \, y_S^* = -\frac{(x_2 - x_1)^2}{4}{{/formula}}
	43	+
60	60	(% class="abc" %)
61		-1. (((Ermittle für jede Gleichungsform {{formula}}\ldots{{/formula}}
62		-1. {{formula}}\ldots{{/formula}}, ob (und ggf. wie) sich die beiden //Winkelhalbierenden// (besondere Geraden) darstellen lassen.
63		-1. {{formula}}\ldots{{/formula}}, ob (und ggf. wie) sich die //Parallelen zu den Koordinatenachsen// (Typen besonderer Geraden) darstellen lassen.
64		-1. {{formula}}\ldots{{/formula}}, welche Werte charakteristischer Größen von {{formula}}g{{/formula}} sich direkt ablesen lassen; vgl. dazu vorausgegangenes Arithmagon.
65		-
	45	+1. Seine dortigen Beispiele mögen hier der Übung des Darstellungswechsels dienen. Ermittle (falls möglich) aus der gegebenen Hauptform die //Produktform//. Folge in Vorgehen und Darstellung obigen Beispielen (dem konkreten und dem allgemeinen).
	46	+(% class="border slim" %)
	47	+|Nr. |Hauptform |Scheitelform |Produktform
	48	+|1 |{{formula}}y = x^2 - 4x + 3{{/formula}} | |
	49	+|2 | |{{formula}}y = (x - 1)^2 + 4{{/formula}} |
	50	+|3 | | |{{formula}}y = (x + 2)(x + 2){{/formula}}
	51	+|4 |{{formula}}y = 2x^2 - 8x + 6{{/formula}} | |
	52	+|5 | |{{formula}}y = (x + 3)^2 - 9{{/formula}} |
	53	+|6 | | |{{formula}}y = (x - 4)(x - 2){{/formula}}
	54	+|7 |{{formula}}y = x^2 + 2x + 5{{/formula}} | |
	55	+|8 | |{{formula}}y = (x - 2)^2{{/formula}} |
	56	+|9 | | |{{formula}}y = (x - 2)(x - 3){{/formula}}
	57	+1. (((Begründe, dass gilt:
	58	+i. {{formula}}\frac{b}{a}=p{{/formula}} und {{formula}}\frac{c}{a}=q{{/formula}}
	59	+ii. {{formula}}2x_S=x_1+x_2=-p{{/formula}} und {{formula}}x_1\cdot x_2=q{{/formula}}
	60	+iii. {{formula}}x_S=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{-p}{2}{{/formula}} und {{formula}}y_S=f(x_S){{/formula}}
66	66	)))
67		-1. (((Erläutere, inwiefern {{formula}}\ldots{{/formula}}
68		-1. {{formula}}\ldots{{/formula}} die //Hauptform// und die //Produktform// zwei Spezialfälle der //Punkt-Steigungs-Form// sind.
69		-1. {{formula}}\ldots{{/formula}} nur die //Allgemeine Form// diese Bezeichnung mit Recht trägt; vgl. dazu a).
70		-
71		-)))
72		-1. Berechne aus den Parametern {{formula}}x_0, y_0{{/formula}} der Achsenabschnittsform die Steigung {{formula}}m{{/formula}}.
	62	+1. Ermittle zu den in a) gegebenen Hauptformen der Parabelgleichungen die Scheitelformen.
	63	+1. Zeige, dass die (zur Gleichung kondensierte) Methode die pq-Formel liefert.
	64	+//Anmerkung//. Dies wird am Ende des Videos gezeigt; weiter wird aus der pq-Formel die abc-Formel hergeleitet.
73	73	{{/aufgabe}}
74	74
75		-
76	76	{{aufgabe id="Weg zur Schule" afb="I" kompetenzen="K1,K3,K4" quelle="Ute Jutt, Ronja Franke" cc="BY-SA" zeit="20"}}
77	77	Kay möchte die Laufzeit für den Weg vom Bahnhof zur Schule berechnen. Die Laufzeit wird modelliert durch die Funktion {{formula}}t{{/formula}} mit {{formula}}t(v)= \frac{d}{v}{{/formula}} (Geschwindigkeit {{formula}}v{{/formula}} in km/min; Entfernung {{formula}}d{{/formula}} in km; Laufzeit {{formula}}t(v){{/formula}} in min). Eine Messung hat ergeben, dass die Schule vom Bahnhof 5 km entfernt liegt.
78	78