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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -1,11 +1,37 @@
1	1	{{seiteninhalt/}}
2	2
3		-{{aufgabe id="Arithmagon Darstellungsformen" afb="II" kompetenzen="K2, K4, K5" tags="problemlösen" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="10"}}
	3	+{{aufgabe id="Po-Shen Loh" afb="II" kompetenzen="K2, K4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="20"}}
	4	+//Verfahren statt Formel// (Teil 1). Unter der Überschrift "A Simple Proof of the Quadratic Formula" (2019) veröffentlichte Po-Shen Loh einen Aufsatz (https://arxiv.org/abs/1910.06709) über eine Methode für den Darstellungswechsel zwischen //Hauptform// und //Produktform// einer quadratischen Funktion; seine Methode kombiniert auf bislang vielleicht unbekannte Weise altbekannte Ansätze.
	5	+(% class="border slim" %)
	6	+|[[image:Po-ShenLoh_Quadratic.png||width="600px"]]
	7	+
	8	+//Verfahren statt Formel// (Teil 2). In seinem Video "Examples: A Different Way to Solve Quadrativ Equations" (https://youtu.be/XKBX0r3J-9Y?si=1RPiGiHEDIs1KFRU) stellt er seine Methode zur Lösung quadratischer Gleichungen zunächst an Beispielen und weiter allgemein vor.
	9	+(% class="border slim" %)
	10	+|{{formula}}\quad{{/formula}} [[image:Po-ShenLoh_Quadratic_Example.png||height="200px"]] | [[image:Po-ShenLoh_Quadratic_Proof.png||height="200px"]] {{formula}}\quad{{/formula}}
	11	+
	12	+//Anmerkung//. Der Kern des Verfahrens ist die Symmetrisierung: Von ihrem arithmetischen Mittel (Hälfte ihrer Summe) weichen die Nullstellen um den gleichen Wert {{formula}}u{{/formula}} nach oben bzw. unten ab. Ausgehend von ihrem Produkt lässt sich diese Abweichung {{formula}}u{{/formula}} infolge der dritten binomischen Formel als Lösung einer reinquadratischen Gleichung ermitteln.
	13	+
4	4	(% class="abc" %)
	15	+1. (((Seine dortigen Beispiele mögen hier der Übung des Darstellungswechsels dienen. Ermittle (falls möglich) die Produktform der Funktionsgleichung.
	16	+1. {{formula}}f(x)=x^2-7x+12{{/formula}}
	17	+1. {{formula}}f(x)=x^2-14x+22{{/formula}}
	18	+1. {{formula}}f(x)=x^2-7x+12{{/formula}}
	19	+1. {{formula}}f(x)=x^2-8x+13{{/formula}}
	20	+1. {{formula}}f(x)=x^2+6x-4{{/formula}}
	21	+1. {{formula}}f(x)=2x^2-4x-5 {{/formula}}
	22	+
	23	+)))
	24	+1. Zeige, dass die (zur Gleichung kondensierte) Methode die pq-Formel liefert.
	25	+//Anmerkung//. Dies wird am Ende des Videos gezeigt; weiter wird aus der pq-Formel die abc-Formel hergeleitet.
	26	+{{/aufgabe}}
	27	+
	28	+{{aufgabe id="Arithmagon Darstellungsformen" afb="II" kompetenzen="K2, K4" tags="problemlösen" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="8"}}
	29	+IN PROGRESS
	30	+(% class="abc" %)
5	5	1. (((Fülle in folgenden Darstellungsformen einer Parabel die Lücken.
6	6	(% class="border slim" %)
7	7	| |{{formula}}y=\square \cdot (x-3)^2+\square{{/formula}} |
8		-|{{formula}}y=\square \cdot (x-1)\cdot (x-\square){{/formula}} |Graph: nach unten geöffnete Parabel in KooSyS ohne Skalierung |{{formula}}y=\square x^2+\square x+\square{{/formula}}
	34	+|{{formula}}y=\square (x-1)(x-\square){{/formula}} |Graph: nach unten geöffnete Parabel in KoorSyS ohne Skalierung |{{formula}}y=\square x^2+\square x+\square{{/formula}}
9	9	| |{{formula}}y=\square 2\cdot (x^2+\square x+\square){{/formula}} |
10	10
11	11	)))
...	...	@@ -22,65 +22,31 @@
22	22	)))
23	23	{{/aufgabe}}
24	24
25		-{{aufgabe id="Formen von Parabelgleichungen" afb="II" kompetenzen="K1, K5, K6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="30"}}
	51	+{{aufgabe id="Formen von Parabelgleichungen" afb="II" kompetenzen="K2, K4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}
	52	+IN PROGRESS
26	26	In der Literatur werden folgende Formen der Parabelgleichung unterschieden, wobei {{formula}}S(x_S|y_S){{/formula}} der Scheitel der Parabel sei; vgl. Merkhilfe, S. 3.
27	27	(% class="border slim" %)
28		-|Scheitelform |{{formula}}y=a(x-x_S)^2 + y_S{{/formula}}
29	29	|Hauptform |{{formula}}y=ax^2+bx+c{{/formula}}
	56	+|Scheitelform |{{formula}}y=a(x-x_S)^2 + y_S{{/formula}}
30	30	|Produktform |{{formula}}y=a(x-x_1)(x-x_2){{/formula}}
31	31	|Gestreckte Normalform |{{formula}}}y=a(x^2+px+q){{/formula}}
32	32
33		-Es gelten folgende Beziehungen zwischen den Parametern, wobei
34		-
35		-\[
36		-\begin{array}{|c|l|l|l|}
37		-\hline
38		-\textbf{Nr.} & \textbf{Von} & \textbf{Zu} & \textbf{Beziehungen} \\
39		-\hline
40		-1 & \text{Scheitelform} & \text{pq-Form} & p = -2x_S, \, q = x_S^2 + y_S^* \\
41		-\hline
42		-2 & \text{pq-Form} & \text{Scheitelform} & x_S = -\frac{p}{2}, \, y_S^* = -\frac{p^2}{4} + q \\
43		-\hline
44		-3 & \text{Scheitelform} & \text{Produktform} & x_1 = x_S - \sqrt{-y_S^*}, \, x_2 = x_S + \sqrt{-y_S^*} \\
45		-\hline
46		-4 & \text{pq-Form} & \text{Produktform} & x_1 = -\frac{p}{2} + \sqrt{\frac{p^2}{4} - q}, \, x_2 = -\frac{p}{2} - \sqrt{\frac{p^2}{4} - q} \\
47		-\hline
48		-5 & \text{Produktform} & \text{pq-Form} & p = -(x_1 + x_2), \, q = x_1 x_2 \\
49		-\hline
50		-6 & \text{Produktform} & \text{Scheitelform} & x_S = \frac{x_1 + x_2}{2}, \, y_S^* = -\frac{(x_2 - x_1)^2}{4} \\
51		-\hline
52		-\end{array}
53		-\]
54		-
55		-//Verfahren statt Formel (Teil 1)//. Unter der Überschrift "A Simple Proof of the Quadratic Formula" (2019) veröffentlichte Po-Shen Loh einen Aufsatz (https://arxiv.org/abs/1910.06709) über eine Methode für den Darstellungswechsel zwischen //Hauptform// und //Produktform// einer quadratischen Funktion; seine Methode kombiniert auf bislang vielleicht unbekannte Weise altbekannte Ansätze.
56		-(% class="border slim" %)
57		-|[[image:Po-ShenLoh_Quadratic.png||width="600px"]]
58		-
59		-//Verfahren statt Formel (Teil 2)//. In seinem Video "Examples: A Different Way to Solve Quadrativ Equations" (https://youtu.be/XKBX0r3J-9Y?si=1RPiGiHEDIs1KFRU) stellt er seine Methode zur Lösung quadratischer Gleichungen zunächst an Beispielen und weiter allgemein vor.
60		-(% class="border slim" %)
61		-|[[image:Po-ShenLoh_Quadratic_Example.png||height="200px"]] {{formula}}\quad{{/formula}} |{{formula}}\quad{{/formula}} [[image:Po-ShenLoh_Quadratic_Proof.png||height="200px"]]
62		-|(Video 27:00)|(Video 33:11)
63		-
64	64	(% class="abc" %)
65		-1. (((Seine dortigen Beispiele mögen hier der Übung des Darstellungswechsels dienen. Ermittle (falls möglich) aus der gegebenen Hauptform die //Produktform//. Folge in Vorgehen und Darstellung obigen Beispielen (dem konkreten und dem allgemeinen).
66		-1. {{formula}}y=x^2-7x+12{{/formula}}
67		-1. {{formula}}y=x^2-14x+24{{/formula}}
68		-1. {{formula}}y=x^2-8x+13{{/formula}}
69		-1. {{formula}}y=x^2+6x-4{{/formula}}
70		-1. {{formula}}y=2x^2-4x-5 {{/formula}}
71		-1. {{formula}}y=3x^2-7x+12{{/formula}}
	61	+1. (((Ermittle für jede Gleichungsform {{formula}}\ldots{{/formula}}
	62	+1. {{formula}}\ldots{{/formula}}, ob (und ggf. wie) sich die beiden //Winkelhalbierenden// (besondere Geraden) darstellen lassen.
	63	+1. {{formula}}\ldots{{/formula}}, ob (und ggf. wie) sich die //Parallelen zu den Koordinatenachsen// (Typen besonderer Geraden) darstellen lassen.
	64	+1. {{formula}}\ldots{{/formula}}, welche Werte charakteristischer Größen von {{formula}}g{{/formula}} sich direkt ablesen lassen; vgl. dazu vorausgegangenes Arithmagon.
72	72
73	73	)))
74		-1. (((Begründe, dass gilt:
75		-i. {{formula}}\frac{b}{a}=p{{/formula}} und {{formula}}\frac{c}{a}=q{{/formula}}
76		-ii. {{formula}}2x_S=x_1+x_2=-p{{/formula}} und {{formula}}x_1\cdot x_2=q{{/formula}}
77		-iii. {{formula}}x_S=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{-p}{2}{{/formula}} und {{formula}}y_S=f(x_S){{/formula}}
	67	+1. (((Erläutere, inwiefern {{formula}}\ldots{{/formula}}
	68	+1. {{formula}}\ldots{{/formula}} die //Hauptform// und die //Produktform// zwei Spezialfälle der //Punkt-Steigungs-Form// sind.
	69	+1. {{formula}}\ldots{{/formula}} nur die //Allgemeine Form// diese Bezeichnung mit Recht trägt; vgl. dazu a).
	70	+
78	78	)))
79		-1. Ermittle zu den in a) gegebenen Hauptformen der Parabelgleichungen die Scheitelformen.
80		-1. Zeige, dass die (zur Gleichung kondensierte) Methode die pq-Formel liefert.
81		-//Anmerkung//. Dies wird am Ende des Videos gezeigt; weiter wird aus der pq-Formel die abc-Formel hergeleitet.
	72	+1. Berechne aus den Parametern {{formula}}x_0, y_0{{/formula}} der Achsenabschnittsform die Steigung {{formula}}m{{/formula}}.
82	82	{{/aufgabe}}
83	83
	75	+
84	84	{{aufgabe id="Weg zur Schule" afb="I" kompetenzen="K1,K3,K4" quelle="Ute Jutt, Ronja Franke" cc="BY-SA" zeit="20"}}
85	85	Kay möchte die Laufzeit für den Weg vom Bahnhof zur Schule berechnen. Die Laufzeit wird modelliert durch die Funktion {{formula}}t{{/formula}} mit {{formula}}t(v)= \frac{d}{v}{{/formula}} (Geschwindigkeit {{formula}}v{{/formula}} in km/min; Entfernung {{formula}}d{{/formula}} in km; Laufzeit {{formula}}t(v){{/formula}} in min). Eine Messung hat ergeben, dass die Schule vom Bahnhof 5 km entfernt liegt.
86	86