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Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -25,33 +25,13 @@
25	25	{{aufgabe id="Formen von Parabelgleichungen" afb="II" kompetenzen="K1, K5, K6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="30"}}
26	26	In der Literatur werden folgende Formen der Parabelgleichung unterschieden, wobei {{formula}}S(x_S|y_S){{/formula}} der Scheitel der Parabel sei; vgl. Merkhilfe, S. 3.
27	27	(% class="border slim" %)
28		-|Scheitelform |{{formula}}y=a(x-x_S)^2 + y_S{{/formula}}
29	29	|Hauptform |{{formula}}y=ax^2+bx+c{{/formula}}
	29	+|Scheitelform |{{formula}}y=a(x-x_S)^2 + y_S{{/formula}}
30	30	|Produktform |{{formula}}y=a(x-x_1)(x-x_2){{/formula}}
31	31	|Gestreckte Normalform |{{formula}}}y=a(x^2+px+q){{/formula}}
32	32
33		-Es gelten folgende Beziehungen zwischen den Parametern, wobei
	33	+Die //Normalparabel// ist Funktionsgraph der quadratischen Potenzfunktion mit {{formula}}y=x^2{{/formula}}. Die kanonischen //Transformationen// (Spiegelung, Streckung, Verschiebung jeweils bezogen auf die orientierten Koordinatenachsen; vgl. Merkhilfe, S. 4) der Normalparabel liefern weitere Parabeln als Funktionsgraphen mit Parabelgleichungen in //Scheitelform//. Ausmultiplizieren liefert die zugehörige //Hauptform//, das ist zumeist eine Linearkombination der drei Potenzfunktionen vom Grad {{formula}}\le 2{{/formula}}: die konstante Funktion mit {{formula}}y=1{{/formula}} (die Potenzfunktion vom Grad 0), proportionale Funktion mit {{formula}}y=x{{/formula}} (die Potenzfunktion vom Grad 1) und quadratische Funktion mit {{formula}}y=x^2{{/formula}} (die Potenzfunktion vom Grad 2). Der Darstellungswechsel zur //Produktform// ist schwieriger, aber auf verschiedene Weisen zugänglich. Wir folgen hier dem Darstellungswechsel nach //Po-Shen Loh//.
34	34
35		-\[
36		-\begin{array}{|c|l|l|l|}
37		-\hline
38		-\textbf{Nr.} & \textbf{Von} & \textbf{Zu} & \textbf{Beziehungen} \\
39		-\hline
40		-1 & \text{Scheitelform} & \text{pq-Form} & p = -2x_S, \, q = x_S^2 + y_S^* \\
41		-\hline
42		-2 & \text{pq-Form} & \text{Scheitelform} & x_S = -\frac{p}{2}, \, y_S^* = -\frac{p^2}{4} + q \\
43		-\hline
44		-3 & \text{Scheitelform} & \text{Produktform} & x_1 = x_S - \sqrt{-y_S^*}, \, x_2 = x_S + \sqrt{-y_S^*} \\
45		-\hline
46		-4 & \text{pq-Form} & \text{Produktform} & x_1 = -\frac{p}{2} + \sqrt{\frac{p^2}{4} - q}, \, x_2 = -\frac{p}{2} - \sqrt{\frac{p^2}{4} - q} \\
47		-\hline
48		-5 & \text{Produktform} & \text{pq-Form} & p = -(x_1 + x_2), \, q = x_1 x_2 \\
49		-\hline
50		-6 & \text{Produktform} & \text{Scheitelform} & x_S = \frac{x_1 + x_2}{2}, \, y_S^* = -\frac{(x_2 - x_1)^2}{4} \\
51		-\hline
52		-\end{array}
53		-\]
54		-
55	55	//Verfahren statt Formel (Teil 1)//. Unter der Überschrift "A Simple Proof of the Quadratic Formula" (2019) veröffentlichte Po-Shen Loh einen Aufsatz (https://arxiv.org/abs/1910.06709) über eine Methode für den Darstellungswechsel zwischen //Hauptform// und //Produktform// einer quadratischen Funktion; seine Methode kombiniert auf bislang vielleicht unbekannte Weise altbekannte Ansätze.
56	56	(% class="border slim" %)
57	57	|[[image:Po-ShenLoh_Quadratic.png||width="600px"]]
...	...	@@ -58,23 +58,24 @@
58	58
59	59	//Verfahren statt Formel (Teil 2)//. In seinem Video "Examples: A Different Way to Solve Quadrativ Equations" (https://youtu.be/XKBX0r3J-9Y?si=1RPiGiHEDIs1KFRU) stellt er seine Methode zur Lösung quadratischer Gleichungen zunächst an Beispielen und weiter allgemein vor.
60	60	(% class="border slim" %)
61		-|[[image:Po-ShenLoh_Quadratic_Example.png||height="200px"]] {{formula}}\quad{{/formula}} |{{formula}}\quad{{/formula}} [[image:Po-ShenLoh_Quadratic_Proof.png||height="200px"]]
62		-|(Video 27:00)|(Video 33:11)
	41	+|{{formula}}\quad{{/formula}} [[image:Po-ShenLoh_Quadratic_Example.png||height="200px"]] | [[image:Po-ShenLoh_Quadratic_Proof.png||height="200px"]] {{formula}}\quad{{/formula}}
63	63
	43	+//Anmerkung//. Der Kern des Verfahrens ist die Symmetrisierung: Die //zwei// Nullstellen weichen nämlich von der Hälfte ihrer Summe (das ist die x-Koordinate {{formula}}x_S{{/formula}} des Scheitels) um den gleichen Wert {{formula}}u{{/formula}} (das ist die Diskriminante, an der sich die Lösbarkeit der Gleichung erkennen lässt) nach oben bzw. unten ab. Ausgehend von ihrem Produkt lässt sich diese //eine// Abweichung {{formula}}u{{/formula}} infolge der dritten binomischen Formel als Lösung einer //rein-quadratischen// Gleichung ermitteln.
	44	+
64	64	(% class="abc" %)
65	65	1. (((Seine dortigen Beispiele mögen hier der Übung des Darstellungswechsels dienen. Ermittle (falls möglich) aus der gegebenen Hauptform die //Produktform//. Folge in Vorgehen und Darstellung obigen Beispielen (dem konkreten und dem allgemeinen).
66	66	1. {{formula}}y=x^2-7x+12{{/formula}}
67		-1. {{formula}}y=x^2-14x+24{{/formula}}
	48	+1. {{formula}}y=x^2-14x+22{{/formula}}
	49	+1. {{formula}}y=x^2-7x+12{{/formula}}
68	68	1. {{formula}}y=x^2-8x+13{{/formula}}
69	69	1. {{formula}}y=x^2+6x-4{{/formula}}
70	70	1. {{formula}}y=2x^2-4x-5 {{/formula}}
71		-1. {{formula}}y=3x^2-7x+12{{/formula}}
72	72
73	73	)))
74	74	1. (((Begründe, dass gilt:
75	75	i. {{formula}}\frac{b}{a}=p{{/formula}} und {{formula}}\frac{c}{a}=q{{/formula}}
76	76	ii. {{formula}}2x_S=x_1+x_2=-p{{/formula}} und {{formula}}x_1\cdot x_2=q{{/formula}}
77		-iii. {{formula}}x_S=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{-p}{2}{{/formula}} und {{formula}}y_S=f(x_S){{/formula}}
	58	+iii. {{formula}}x_S=\frac{x_1+x_2}{2}{{/formula}} und {{formula}}y_S=f(x_S){{/formula}}
78	78	)))
79	79	1. Ermittle zu den in a) gegebenen Hauptformen der Parabelgleichungen die Scheitelformen.
80	80	1. Zeige, dass die (zur Gleichung kondensierte) Methode die pq-Formel liefert.