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  • Arithmagon Potenzfunktionen Formen.svg

Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -3,71 +3,70 @@
3	3	{{aufgabe id="Arithmagon Darstellungsformen" afb="II" kompetenzen="K2, K4, K5" tags="problemlösen" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="10"}}
4	4	(% class="abc" %)
5	5	1. (((Fülle in folgenden Darstellungsformen einer Parabel die Lücken.
6		-(% class="border slim" %)
7		-| |{{formula}}y=\square \cdot (x-3)^2+\square{{/formula}} |
8		-|{{formula}}y=\square \cdot (x-1)\cdot (x-\square){{/formula}} |Graph: nach unten geöffnete Parabel in KooSyS ohne Skalierung |{{formula}}y=\square x^2+\square x+\square{{/formula}}
9		-| |{{formula}}y=\square 2\cdot (x^2+\square x+\square){{/formula}} |
10		-
	6	+[[image:Arithmagon Potenzfunktionen Formen.svg||width="500"]]
11	11	)))
12	12	1. (((Nenne die Werte der charakteristischen Größen der Parabel:
13		-1. (((//Lage//.
	9	+1. (((
	10	+(% class="border" %)
	11	+|**Lage der Geraden** |Abschnitt |Schnitt-, Scheitelpunkt
	12	+|y-Achse |{{formula}}b=y_0{{/formula}} |{{formula}}S_y(\qquad|\qquad){{/formula}}
	13	+|x-Achse |{{formula}}x_0={{/formula}} |{{formula}}S_x(\qquad|\qquad)=N{{/formula}}
	14	+|Symmetrieachse |{{formula}}x={{/formula}} |
	15	+|Scheitel |{{formula}}x_S={{/formula}} |{{formula}}S(\qquad|\qquad){{/formula}}
	16	+)))
	17	+1. (((
	18	+(% class="border" %)
	19	+|**Kovariation des linearen Zusammenhangs** | Parameterwert bzw. Beschreibung
	20	+|Monotonie |
	21	+|Steigung an der Stelle {{formula}}m=\hspace{1cm}{{/formula}} |{{formula}}m=\hspace{1cm}{{/formula}}
	22	+|Krümmung |{{formula}}a={{/formula}}
	23	+)))
	24	+)))
	25	+
	26	+
	27	+ 1. (((//Lage//.
14	14	i. Scheitel {{formula}}S(x_S|y_S){{/formula}} mit Symmetrieachse {{formula}}g{{/formula}} der Parabel
15	15	ii. x-Achsenabschnitte {{formula}}x_1, x_2{{/formula}} mit x-Achsenschnittpunkten {{formula}}N_1, N_2{{/formula}}
16	16	iii. y-Achsenabschnitt {{formula}}c{{/formula}} mit y-Achsenschnittpunkt {{formula}}S_y{{/formula}}
17	17	)))
18		-1. (((//Kovariation//.
19		-i. Steigung {{formula}}b{{/formula}} an der Stelle {{formula}}x=0{{/formula}}
20		-ii. Krümmung {{formula}}a{{/formula}}
21	21	)))
22		-)))
23	23	{{/aufgabe}}
24	24
25	25	{{aufgabe id="Formen von Parabelgleichungen" afb="II" kompetenzen="K1, K5, K6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="30"}}
26		-In der Literatur werden folgende Formen der Parabelgleichung unterschieden, wobei {{formula}}S(x_S|y_S){{/formula}} der Scheitel der Parabel sei; vgl. Merkhilfe, S. 3.
27		-(% class="border slim" %)
	36	+(((In der Literatur werden folgende Formen der Parabelgleichung unterschieden, wobei {{formula}}S(x_S|y_S){{/formula}} der Scheitel der Parabel sei; vgl. Merkhilfe, S. 3.
	37	+(% class="border" %)
28	28	|Scheitelform |{{formula}}y=a(x-x_S)^2 + y_S{{/formula}}
29	29	|Hauptform |{{formula}}y=ax^2+bx+c{{/formula}}
30	30	|Produktform |{{formula}}y=a(x-x_1)(x-x_2){{/formula}}
31	31	|Gestreckte Normalform |{{formula}}}y=a(x^2+px+q){{/formula}}
32		-
33		-Es gelten folgende Beziehungen zwischen den Parametern, wobei
34		-
35		-(% class="border slim" %)
36		-|Nr. |Von |Zu |Beziehungen
37		-|1 |Scheitelform |pq-Form |{{formula}}p = -2x_S, \, q = x_S^2 + y_S^*{{/formula}}
38		-|2 |pq-Form |Scheitelform |{{formula}}x_S = -\frac{p}{2}, \, y_S^* = -\frac{p^2}{4} + q{{/formula}}
39		-|3 |Scheitelform |Produktform |{{formula}}x_1 = x_S - \sqrt{-y_S^*}, \, x_2 = x_S + \sqrt{-y_S^*}{{/formula}}
40		-|4 |pq-Form |Produktform |{{formula}}x_1 = -\frac{p}{2} + \sqrt{\frac{p^2}{4} - q}, \, x_2 = -\frac{p}{2} - \sqrt{\frac{p^2}{4} - q}{{/formula}}
41		-|5 |Produktform |pq-Form |{{formula}}p = -(x_1 + x_2), \, q = x_1 x_2{{/formula}}
42		-|6 |Produktform |Scheitelform |{{formula}}x_S = \frac{x_1 + x_2}{2}, \, y_S^* = -\frac{(x_2 - x_1)^2}{4}{{/formula}}
43		-
44		-//Verfahren statt Formel (Teil 1)//. Unter der Überschrift "A Simple Proof of the Quadratic Formula" (2019) veröffentlichte Po-Shen Loh einen Aufsatz (https://arxiv.org/abs/1910.06709) über eine Methode für den Darstellungswechsel zwischen //Hauptform// und //Produktform// einer quadratischen Funktion; seine Methode kombiniert auf bislang vielleicht unbekannte Weise altbekannte Ansätze.
45		-(% class="border slim" %)
46		-|[[image:Po-ShenLoh_Quadratic.png||width="600px"]]
47		-
48		-//Verfahren statt Formel (Teil 2)//. In seinem Video "Examples: A Different Way to Solve Quadrativ Equations" (https://youtu.be/XKBX0r3J-9Y?si=1RPiGiHEDIs1KFRU) stellt er seine Methode zur Lösung quadratischer Gleichungen zunächst an Beispielen und weiter allgemein vor.
49		-(% class="border slim" %)
50		-|[[image:Po-ShenLoh_Quadratic_Example.png||height="200px"]] {{formula}}\quad{{/formula}} |{{formula}}\quad{{/formula}} [[image:Po-ShenLoh_Quadratic_Proof.png||height="200px"]]
51		-|(Video 27:00)|(Video 33:11)
52		-
	42	+)))
53	53	(% class="abc" %)
54		-1. (((Seine dortigen Beispiele mögen hier der Übung des Darstellungswechsels dienen. Ermittle (falls möglich) aus der gegebenen Hauptform die //Produktform//. Folge in Vorgehen und Darstellung obigen Beispielen (dem konkreten und dem allgemeinen).
55		-1. {{formula}}y=x^2-7x+12{{/formula}}
56		-1. {{formula}}y=x^2-14x+24{{/formula}}
57		-1. {{formula}}y=x^2-8x+13{{/formula}}
58		-1. {{formula}}y=x^2+6x-4{{/formula}}
59		-1. {{formula}}y=2x^2-4x-5 {{/formula}}
60		-1. {{formula}}y=3x^2-7x+12{{/formula}}
61		-
	44	+1. //Formen untersuchen//. Bestimme für jede Gleichungsform, welche charakteristischen Größen der Parabel sich direkt ablesen lassen; siehe hierzu das vorausgegangene Arithmagon.
	45	+1. //Formeln entdecken//. Untersuche die Gleichungsformen im Hinblick auf Zusammenhänge; instruktiv ist der //Koeffizientenvergleich// mit der "Gestreckten Normalform".
	46	+1. (((//Formeln untersuchen//. Folgende Tabelle gibt einen Überblick über Beziehungen zwischen den Parametern, wobei die Kurz-Bezeichnung {{formula}}}y_S^*=\frac{y_S}{a}{{/formula}} verwendet wurde. Welche Zusammenhänge zwischen den tabellierten Beziehungen lassen sich schnell erkennen?
	47	+(% class="border" %)
	48	+|Nr. |Von |Zu |Parameter 1 |Parameter 2
	49	+|1 |Scheitelform |pq-Form |{{formula}}p = -2x_S{{/formula}} |{{formula}}q = x_S^2 + y_S^*{{/formula}}
	50	+|2 |Gestreckte Normalform |Scheitelform |{{formula}}x_S = -\frac{p}{2}{{/formula}} |{{formula}}y_S^* = -\frac{p^2}{4} + q{{/formula}}
	51	+|3 |Scheitelform |Produktform |{{formula}}x_1 = x_S - \sqrt{-y_S^*}{{/formula}} |{{formula}}x_2 = x_S + \sqrt{-y_S^*}{{/formula}}
	52	+|4 |Gestreckte Normalform |Produktform |{{formula}}x_1 = -\frac{p}{2} + \sqrt{\frac{p^2}{4} - q}{{/formula}} |{{formula}}x_2 = -\frac{p}{2} - \sqrt{\frac{p^2}{4} - q}{{/formula}}
	53	+|5 |Produktform |Gestreckte Normalform |{{formula}}p = -(x_1 + x_2){{/formula}} |{{formula}}q = x_1 x_2{{/formula}}
	54	+|6 |Produktform |Scheitelform |{{formula}}x_S = \frac{x_1 + x_2}{2}{{/formula}} |{{formula}}y_S^* = -\frac{(x_2 - x_1)^2}{4}{{/formula}}
62	62	)))
63		-1. (((Begründe, dass gilt:
64		-i. {{formula}}\frac{b}{a}=p{{/formula}} und {{formula}}\frac{c}{a}=q{{/formula}}
65		-ii. {{formula}}2x_S=x_1+x_2=-p{{/formula}} und {{formula}}x_1\cdot x_2=q{{/formula}}
66		-iii. {{formula}}x_S=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{-p}{2}{{/formula}} und {{formula}}y_S=f(x_S){{/formula}}
	56	+1. (((//Formeln anwenden//. Ergänze die Leerstellen in folgender Tabelle.
	57	+(% class="border" %)
	58	+|Nr. |Hauptform |Scheitelform |Produktform
	59	+|1 |{{formula}}y = x^2 - 4x + 3{{/formula}} | |
	60	+|2 | |{{formula}}y = (x - 1)^2 + 4{{/formula}} |
	61	+|3 | | |{{formula}}y = (x + 2)(x + 2){{/formula}}
	62	+|4 |{{formula}}y = -(x^2 - 4x + 1){{/formula}} | |
	63	+|5 | |{{formula}}y = -\pi(x - \pi)^2{{/formula}} |
	64	+|6 | | |{{formula}}y = -(x + 1 - \sqrt{2})(x + 1 + \sqrt{2}){{/formula}}
	65	+|7 |{{formula}}y = 2(x^2 + 2x + 5){{/formula}} | |
	66	+|8 | |{{formula}}y = -\frac{3}{2}(x - 2)^2{{/formula}} |
	67	+|9 | | |{{formula}}y = \sqrt{2}(x - 2)(x - 3){{/formula}}
67	67	)))
68		-1. Ermittle zu den in a) gegebenen Hauptformen der Parabelgleichungen die Scheitelformen.
69		-1. Zeige, dass die (zur Gleichung kondensierte) Methode die pq-Formel liefert.
70		-//Anmerkung//. Dies wird am Ende des Videos gezeigt; weiter wird aus der pq-Formel die abc-Formel hergeleitet.
	69	+1. //Formeln begründen//. Zeige einige der oben tabellierten Beziehungen zwischen den Parametern.
71	71	{{/aufgabe}}
72	72
73	73	{{aufgabe id="Weg zur Schule" afb="I" kompetenzen="K1,K3,K4" quelle="Ute Jutt, Ronja Franke" cc="BY-SA" zeit="20"}}

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	1	+XWiki.holgerengels

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