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Änderungen von Dokument BPE 2 Einheitsübergreifend

Zuletzt geändert von Martin Rathgeb am 2025/01/12 20:03
Von Version 64.3
bearbeitet von Holger Engels
am 2024/10/15 21:26
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bearbeitet von Martin Rathgeb
am 2024/12/23 01:15
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Dokument-Autor
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1 -XWiki.holgerengels
1 +XWiki.martinrathgeb
Inhalt
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60 60  {{/lehrende}}
61 61  {{/aufgabe}}
62 62  
63 +
64 +{{aufgabe id="Spiegeln an der Winkelhalbierenden" afb="III" kompetenzen="K4" quelle="Niklas Wunder, Martin Rathgeb" zeit="12" cc="BY-SA"}}
65 +Graphische Transformationen gehören zu den Grundwerkzeugen der Mathematik. Neben Verschiebungen, Streckungen und Spiegelungen an den Achsen gibt es eine besondere Transformation, die in ihrer Bedeutung oft übersehen wird: die Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden, d.h., an der Geraden mit Gleichung {{formula}}y=x{{/formula}}. Diese Transformation ist weit mehr als eine Spielerei, denn sie führt auf die Umkehrung der Funktion.
66 +
67 +Betrachten wir dafür zunächst ein Beispiel. Für alle Funktionen schränkt man den Definitionsbereich auf {{formula}}x> 0{{/formula}} ein. Wieso dies sinnvoll ist wird später klar. Um die Funktionsgleichung nach Spiegelung rechnerisch zu ermitteln nimmt man die Funktionsgleichung, z.B. {{formula}} y=x^2{{/formula}}, löst diese nach x auf und vertauscht anschließend die Variablen so erhält man den gespiegelten Funktionsgraphen mit passender Funktionsgleichung.
68 +
69 +{{formula}}
70 +\begin{align*}
71 +y=x^2 \;\; | \,\sqrt{\phantomtext}\\
72 +x=\sqrt{y}\;\;
73 +{{/formula}}
74 +Vertausche x und y miteinander um die Funktionsgleichung des gespiegelten Funktionsgraphens zu erhalten.
75 +{{formula}}
76 +y=\sqrt{x}
77 +\end{align*}
78 +{{/formula}}
79 +
80 +Betrachte die folgenden drei Funktionsgleichungen mit Graphen: {{formula}}f(x)=2x{{/formula}}, {{formula}}f(x)=(x+2)^2{{/formula}} und {{formula}}f(x)=x^3{{/formula}}.
81 +[[image:Einheitsuebergreifend2.png||width="400px"]]
82 +(% class="abc" %)
83 +1. Löse {{formula}}f(x)=y{{/formula}} nach Ersetzung des Funktionswerts {{formula}}f(x){{/formula}} durch den jeweiligen Funktionsterm nach //x// auf; du erhältst damit für //x// einen Funktionsterm in //y//.
84 +1. Zeichne die Paare von Graphen und untersuche, wie sie zur ersten Winkelhalbierenden liegen.
85 +1. Die in a) berechneten Terme sind die Funktionsterme der Umkehrfunktionen ({{formula}}f^{-1}{{/formula}}). Untersuche jeweils den Ausdruck {{formula}}f^{-1}(y){{/formula}}, in dem du {{formula}}f(x){{/formula}} für //y// einsetzt und beschreibe, was dir (an der jeweiligen Vereinfachung) auffällt.
86 +1. Abschließend stellt sich die Frage: Warum muss der Definitionsbereich der Funktion //f// verkleinert werden, wenn die Umkehrfunktion berechnet wird? Begründe diese Einschränkung mit den Ergebnissen aus a) und b).
87 +{{/aufgabe}}
88 +
63 63  {{matrix/}}
Einheitsuebergreifend2.png
Author
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1 +XWiki.niklaswunder
Größe
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1 +22.7 KB
Inhalt
XWiki.XWikiComments[0]
Autor
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1 +XWiki.dirktebbe
Datum
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1 +2024-11-15 09:31:25.560
XWiki.XWikiComments[1]
Autor
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1 +XWiki.dirktebbe
Kommentar
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1 +Bei der Aufgabe "Weg zur Schule" ist die Anwendungssituation mit Zeit gegen null wenig sinnvoll. Es entstehen dabei Geh-Geschwindigkeiten, die von Menschen nicht machbar sind. Zudem trifft der Begriff Definitionslücke nicht zu. Es geht vielmehr um ein offenes Intervall von null bis unendlich. Der Versuch die Aufgabe zu überarbeiten ist mir nicht gelungen. In Rücksprache mit weiteren Gruppenmitgliedern nehme ich die Aufgabe vorläufig aus dem Arbeitsheft.
Datum
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1 +2024-11-15 09:38:04.365