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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

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63	63
64	64	{{aufgabe id="Spiegeln an der Winkelhalbierenden" afb="III" kompetenzen="K4" quelle="Niklas Wunder, Martin Rathgeb" zeit="12" cc="BY-SA"}}
65		-Graphische Transformationen gehören zu den Grundwerkzeugen der Mathematik. Neben Verschiebungen, Streckungen und Spiegelungen an den Achsen gibt es eine besondere Transformation, die in ihrer Bedeutung oft übersehen wird: die Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden, d.h., an der Geraden mit Gleichung {{formula}}y=x{{/formula}}. Diese Transformation ist weit mehr als eine Spielerei, denn sie führt direkt zur Bestimmung der Umkehrfunktion einer gegebenen Funktion.
	65	+Graphische Transformationen gehören zu den Grundwerkzeugen der Mathematik. Neben Verschiebungen, Streckungen und Spiegelungen an den Achsen gibt es eine besondere Transformation, die in ihrer Bedeutung oft übersehen wird: die Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden, d.h., an der Geraden mit Gleichung {{formula}}y=x{{/formula}}. Diese Transformation ist weit mehr als eine Spielerei, denn sie führt auf die Umkehrung der Funktion.
66	66
67		-Betrachten wir dafür zunächst ein Beispiel. Für alle Funktionen schränkt man den Definitionsbereich auf {{formula}}x> 0{{/formula}} ein. Wieso dies sinnvoll ist wird später klar. Um die Funktionsgleichung nach Spiegelung rechnerisch zu ermitteln nimmt man die Funktionsgleichung, z.B. {{formula}} y=x^2{{/formula}}, löst diese nach x auf und vertauscht anschließend die Variablen so erhält man den gespiegelten Funktionsgraphen mit passender Funktionsgleichung.
	67	+Betrachten wir dafür zunächst ein Beispiel, nämlich die Funktionsgleichung {{formula}}f(x)=x^2{{/formula}}. Um die Gleichung für die Umkehrung rechnerisch zu ermitteln, löst man {{formula}}y=x^2{{/formula}} nach //x// auf, d.h.: {{formula}}x=\pm \sqrt{y}{{/formula}}.
68	68
69	69	{{formula}}
70	70	\begin{align*}
...	...	@@ -77,36 +77,13 @@
77	77	\end{align*}
78	78	{{/formula}}
79	79
	80	+Betrachte die folgenden drei Funktionsgleichungen mit ihren nachfolgenden Graphen: {{formula}}f(x)=2x{{/formula}}, {{formula}}f(x)=(x+2)^2{{/formula}} und {{formula}}f(x)=x^3{{/formula}}.
	81	+[[image:Einheitsuebergreifend2.png||width="400px"]]
80	80	(% class="abc" %)
81		-1. Bestimme nun die an der ersten Winkelhalbierenden gespiegelten Funktionen für folgende Beispiele: (i) {{formula}}f(x)=2x{{/formula}}, (ii) {{formula}}g(x)=(x+1)^2{{/formula}}, (iii) {{formula}}h(x)=x^3{{/formula}}.
82		-1. Zeichne außerdem die gespiegelten Graphen und überprüfe, wie sich diese zur Winkelhalbierenden verhalten.
83		-1. Die in a) berechneten Funktionen nennt man Umkehrfunktionen ({{formula}}f^{-1}{{/formula}}). Untersuche den Ausdruck {{formula}}f^{-1}(y){{/formula}} für {{formula}}y=f(x){{/formula}} und beschreibe, was dir auffällt.
	83	+1. Löse {{formula}}f(x)=y{{/formula}} nach Ersetzung des Funktionswerts {{formula}}f(x){{/formula}} durch den jeweiligen Funktionsterm nach //x// auf; du erhältst damit für //x// einen Funktionsterm in //y//.
	84	+1. Zeichne die Paare von Graphen und untersuche, wie sie zur ersten Winkelhalbierenden liegen.
	85	+1. Die in a) berechneten Terme sind die Funktionsterme der Umkehrfunktionen ({{formula}}f^{-1}{{/formula}}). Untersuche jeweils den Ausdruck {{formula}}f^{-1}(y){{/formula}}, in dem du {{formula}}f(x){{/formula}} für //y// einsetzt und beschreibe, was dir (an der jeweiligen Vereinfachung) auffällt.
84	84	1. Abschließend stellt sich die Frage: Warum muss der Definitionsbereich der Funktion //f// verkleinert werden, wenn die Umkehrfunktion berechnet wird? Begründe diese Einschränkung mit den Ergebnissen aus a) und b).
85		-[[image:Einheitsuebergreifend2.png||width="400px"]]
86	86	{{/aufgabe}}
87	87
88		-{{aufgabe id="Spiegeln an der Winkelhalbierenden (alt)" afb="III" kompetenzen="K4" quelle="Niklas Wunder" zeit="12" cc="BY-SA"}}
89		-Neben der Spiegelung an der x- und y- Achse kann man auch an der ersten Winkelhalbierenden (gegeben durch y=x) einen Funktionsgraphen spiegeln. Für alle Funktionen schränkt man den Definitionsbereich auf {{formula}}x> 0{{/formula}} ein. Wieso dies sinnvoll ist wird später klar. Um die Funktionsgleichung nach Spiegelung rechnerisch zu ermitteln nimmt man die Funktionsgleichung, z.B. {{formula}} y=x^2{{/formula}}, löst diese nach x auf und vertauscht anschließend die Variablen so erhält man den gespiegelten Funktionsgraphen mit passender Funktionsgleichung.
90		-
91		-{{formula}}
92		-\begin{align*}
93		-y=x^2 \;\; | \,\sqrt{\phantomtext}\\
94		-x=\sqrt{y}\;\;
95		-{{/formula}}
96		-Vertausche x und y miteinander um die Funktionsgleichung des gespiegelten Funktionsgraphens zu erhalten.
97		-{{formula}}
98		-y=\sqrt{x}
99		-\end{align*}
100		-{{/formula}}
101		-
102		-(% class="abc" %)
103		-1. Bestimme die an der ersten Winkelhabierenden gespiegelten Funktionen {{formula}} f(x)=\frac{1}{x}; g(x)= \frac{1}{x^2} {{/formula}} und {{formula}} h(x)= \frac{2\,x+3}{-4\,x-2}{{/formula}}. Hinweis: {{formula}}x >0{{/formula}}
104		-1. Bestimme graphisch den an der ersten Winkelhalbierenden gespiegelten Graphen zu den drei dargestellten Graphen.
105		-1. Die in a) berechneten Funktionen nennt man auch Umkehrfunktionen (Abkürzung {{formula}} f^{-1}{{/formula}} ) . Berechne den Funktionsterm {{formula}} f^{-1}(f(x)){{/formula}}. Beschreibe deine Beobachtung. Hinweis: Setze dazu den Term der Funktionsgleichung {{formula}}f(x){{/formula}} in die in a) berechnete Umkehrfunktion {{formula}} f^{-1}{{/formula}} ein und fasse zusammen.
106		-1. Begründe mit Hilfe deiner Lösungen von a) und b) wieso der Definitionsbereich der Funktion {{formula}} f
107		-{{/formula}} verkleinert werden muss, wenn man die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion berechnet.
108		-
109		-[[image:Einheitsuebergreifend2.png||width="400px"]]
110		-{{/aufgabe}}
111		-
112	112	{{matrix/}}