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Wiki-Quellcode von BPE 2 Einheitsübergreifend

Version 163.1 von Martin Rathgeb am 2025/01/07 01:14
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1 {{seiteninhalt/}}
2
3 {{aufgabe id="Arithmagon Darstellungsformen" afb="II" kompetenzen="K2, K4" tags="problemlösen" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="8"}}
4 (% class="abc" %)
5 1. (((Fülle in folgenden Darstellungsformen einer Parabel die Lücken.
6 (% class="border slim" %)
7 | |{{formula}}y=\square \cdot (x-3)^2+\square{{/formula}} |
8 |{{formula}}y=\square \cdot (x-1)\cdot (x-\square){{/formula}} |Graph: nach unten geöffnete Parabel in KooSyS ohne Skalierung |{{formula}}y=\square x^2+\square x+\square{{/formula}}
9 | |{{formula}}y=\square 2\cdot (x^2+\square x+\square){{/formula}} |
10
11 )))
12 1. (((Nenne die Werte der charakteristischen Größen der Parabel:
13 1. (((//Lage//.
14 i. Scheitel {{formula}}S(x_S|y_S){{/formula}} mit Symmetrieachse {{formula}}g{{/formula}} der Parabel
15 ii. x-Achsenabschnitte {{formula}}x_1, x_2{{/formula}} mit x-Achsenschnittpunkten {{formula}}N_1, N_2{{/formula}}
16 iii. y-Achsenabschnitt {{formula}}c{{/formula}} mit y-Achsenschnittpunkt {{formula}}S_y{{/formula}}
17 )))
18 1. (((//Kovariation//.
19 i. Steigung {{formula}}b{{/formula}} an der Stelle {{formula}}x=0{{/formula}}
20 ii. Krümmung {{formula}}a{{/formula}}
21 )))
22 )))
23 {{/aufgabe}}
24
25 {{aufgabe id="Formen von Parabelgleichungen" afb="II" kompetenzen="K2, K4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="20"}}
26 In der Literatur werden folgende Formen der Parabelgleichung unterschieden, wobei {{formula}}S(x_S|y_S){{/formula}} der Scheitel der Parabel sei; vgl. Merkhilfe, S. 3.
27 (% class="border slim" %)
28 |Hauptform |{{formula}}y=ax^2+bx+c{{/formula}}
29 |Scheitelform |{{formula}}y=a(x-x_S)^2 + y_S{{/formula}}
30 |Produktform |{{formula}}y=a(x-x_1)(x-x_2){{/formula}}
31 |Gestreckte Normalform |{{formula}}}y=a(x^2+px+q){{/formula}}
32
33 Die //Normalparabel// ist Funktionsgraph //der// quadratischen Potenzfunktion ({{formula}}y=x^2{{/formula}}). Ihre //Transformationen// (vgl. Merkhilfe, S. 4) liefern Funktionsgraphen mit Parabelgleichung in //Scheitelform//. Ausmultiplizieren liefert die zugehörige //Hauptform//, das ist zumeist eine //Linearkombination// der drei Potenzfunktionen vom Grad {{formula}}\le 2{{/formula}}: die konstante Funktion mit {{formula}}y=1{{/formula}} (die Potenzfunktion vom Grad 0), proportionale Funktion mit {{formula}}y=x{{/formula}} (die Potenzfunktion vom Grad 1) und quadratische Funktion mit {{formula}}y=x^2{{/formula}} (die Potenzfunktion vom Grad 2). Der Darstellungswechsel zur //Produktform// ist schwieriger, aber auf verschiedene Weisen zugänglich. Wir folgen hier dem Darstellungswechsel nach //Po-Shen Loh//.
34
35 //Verfahren statt Formel (Teil 1)//. Unter der Überschrift "A Simple Proof of the Quadratic Formula" (2019) veröffentlichte Po-Shen Loh einen Aufsatz (https://arxiv.org/abs/1910.06709) über eine Methode für den Darstellungswechsel zwischen //Hauptform// und //Produktform// einer quadratischen Funktion; seine Methode kombiniert auf bislang vielleicht unbekannte Weise altbekannte Ansätze.
36 (% class="border slim" %)
37 |[[image:Po-ShenLoh_Quadratic.png||width="600px"]]
38
39 //Verfahren statt Formel (Teil 2)//. In seinem Video "Examples: A Different Way to Solve Quadrativ Equations" (https://youtu.be/XKBX0r3J-9Y?si=1RPiGiHEDIs1KFRU) stellt er seine Methode zur Lösung quadratischer Gleichungen zunächst an Beispielen und weiter allgemein vor.
40 (% class="border slim" %)
41 |{{formula}}\quad{{/formula}} [[image:Po-ShenLoh_Quadratic_Example.png||height="200px"]] | [[image:Po-ShenLoh_Quadratic_Proof.png||height="200px"]] {{formula}}\quad{{/formula}}
42
43 //Anmerkung//. Der Kern des Verfahrens ist die Symmetrisierung: Die //zwei// Nullstellen weichen nämlich von der Hälfte ihrer Summe (das ist die x-Koordinate {{formula}}x_S{{/formula}} des Scheitels) um den gleichen Wert {{formula}}u{{/formula}} (das ist die Diskriminante, an der sich die Lösbarkeit der Gleichung erkennen lässt) nach oben bzw. unten ab. Ausgehend von ihrem Produkt lässt sich diese //eine// Abweichung {{formula}}u{{/formula}} infolge der dritten binomischen Formel als Lösung einer //rein-quadratischen// Gleichung ermitteln.
44
45 (% class="abc" %)
46 1. (((Seine dortigen Beispiele mögen hier der Übung des Darstellungswechsels dienen. Ermittle (falls möglich) aus der gegebenen Hauptform die //Produktform//.
47 1. {{formula}}y=x^2-7x+12{{/formula}}
48 1. {{formula}}y=x^2-14x+22{{/formula}}
49 1. {{formula}}y=x^2-7x+12{{/formula}}
50 1. {{formula}}y=x^2-8x+13{{/formula}}
51 1. {{formula}}y=x^2+6x-4{{/formula}}
52 1. {{formula}}y=2x^2-4x-5 {{/formula}}
53
54 )))
55 1. Zeige, dass die (zur Gleichung kondensierte) Methode die pq-Formel liefert.
56 //Anmerkung//. Dies wird am Ende des Videos gezeigt; weiter wird aus der pq-Formel die abc-Formel hergeleitet.
57 1. (((Begründe, dass gilt:
58 i. {{formula}}x_S=\frac{p}{2}{{/formula}}
59 ii. {{formula}}x_S=\frac{b}{2a}{{/formula}}
60 iii. {{formula}}x_S=\frac{x_1+x_2}{2}{{/formula}}
61 iv. {{formula}}y_S=f(x_S){{/formula}}
62 )))
63 1. Ermittle zu den in a) gegebenen Hauptformen der Parabelgleichungen die Scheitelformen.
64 {{/aufgabe}}
65
66 {{aufgabe id="Formen von Parabelgleichungen" afb="II" kompetenzen="K2, K4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}
67 IN PROGRESS
68 In der Literatur werden folgende Formen der Parabelgleichung unterschieden, wobei {{formula}}S(x_S|y_S){{/formula}} der Scheitel der Parabel sei; vgl. Merkhilfe, S. 3.
69 (% class="border slim" %)
70 |Hauptform |{{formula}}y=ax^2+bx+c{{/formula}}
71 |Scheitelform |{{formula}}y=a(x-x_S)^2 + y_S{{/formula}}
72 |Produktform |{{formula}}y=a(x-x_1)(x-x_2){{/formula}}
73 |Gestreckte Normalform |{{formula}}}y=a(x^2+px+q){{/formula}}
74
75 (% class="abc" %)
76 1. (((Ermittle für jede Gleichungsform {{formula}}\ldots{{/formula}}
77 1. {{formula}}\ldots{{/formula}}, ob (und ggf. wie) sich die beiden //Winkelhalbierenden// (besondere Geraden) darstellen lassen.
78 1. {{formula}}\ldots{{/formula}}, ob (und ggf. wie) sich die //Parallelen zu den Koordinatenachsen// (Typen besonderer Geraden) darstellen lassen.
79 1. {{formula}}\ldots{{/formula}}, welche Werte charakteristischer Größen von {{formula}}g{{/formula}} sich direkt ablesen lassen; vgl. dazu vorausgegangenes Arithmagon.
80
81 )))
82 1. (((Erläutere, inwiefern {{formula}}\ldots{{/formula}}
83 1. {{formula}}\ldots{{/formula}} die //Hauptform// und die //Produktform// zwei Spezialfälle der //Punkt-Steigungs-Form// sind.
84 1. {{formula}}\ldots{{/formula}} nur die //Allgemeine Form// diese Bezeichnung mit Recht trägt; vgl. dazu a).
85
86 )))
87 1. Berechne aus den Parametern {{formula}}x_0, y_0{{/formula}} der Achsenabschnittsform die Steigung {{formula}}m{{/formula}}.
88 {{/aufgabe}}
89
90
91 {{aufgabe id="Weg zur Schule" afb="I" kompetenzen="K1,K3,K4" quelle="Ute Jutt, Ronja Franke" cc="BY-SA" zeit="20"}}
92 Kay möchte die Laufzeit für den Weg vom Bahnhof zur Schule berechnen. Die Laufzeit wird modelliert durch die Funktion {{formula}}t{{/formula}} mit {{formula}}t(v)= \frac{d}{v}{{/formula}} (Geschwindigkeit {{formula}}v{{/formula}} in km/min; Entfernung {{formula}}d{{/formula}} in km; Laufzeit {{formula}}t(v){{/formula}} in min). Eine Messung hat ergeben, dass die Schule vom Bahnhof 5 km entfernt liegt.
93
94 (% class="abc" %)
95 1. Erstelle die Funktion {{formula}}t{{/formula}}, die die benötigte Zeit in Minuten in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit {{formula}}v{{/formula}} in km/h beschreibt.
96 1. Bestimme die Definitionslücke der Funktion {{formula}}t{{/formula}}.
97 1. Erläutere, warum es in diesem Kontext sinnvoll ist, eine Definitionslücke zu haben.
98 1. Zeichne den Graphen der Funktion {{formula}}t{{/formula}} und markiere die Definitionslücke.
99 {{/aufgabe}}
100
101 {{aufgabe id="Potenzgleichungen lösen - graphisch und rechnerisch" afb="II" zeit="15" kompetenzen="K4,K5" quelle="Martin Stern, Niklas Wunder" cc="BY-SA"}}
102 Gegeben sind die Funktionen //f// und //g// mit den Funktionsgleichungen {{formula}}f(x)=\sqrt{-x+1}{{/formula}} und {{formula}} g(x)=-\sqrt{x+5}+3 {{/formula}}.
103
104 (% class="abc" %)
105 1. Gib jeweils die maximale Defintionsmenge und den zugehörigen Wertebereich an.
106 1. Zeichne die Funktionsgraphen zu den Funktionen in ein gemeinsammes Koordinatensystem im Intervall {{formula}}[-6; +2]{{/formula}}.
107 1. Bestimme die Lösungen der Wurzelgleichung {{formula}}f(x) = g(x){{/formula}} graphisch.
108 1. Berechne die Lösungen und vergleiche deine berechneten Lösungen mit den graphischen Lösungen aus c).
109 {{/aufgabe}}
110
111 {{aufgabe id="Lineare Regression" afb="II" zeit="10" kompetenzen="K3, K4, K5" quelle="Universität Köln Dr.C.Lange" cc="BY-SA"}}
112 Nachfolgend ist die Menge freier Chlorreste in ppm (parts per million) in Schwimmbecken als Funktion der Zeit (in Stunden)
113 nach der Behandlung mit Chemikalien angegeben
114
115 |=Zeit|2|4|6|8|10|12|
116 |=Menge|1,7|1,5|1,2|1,0|1,0|0,8|
117
118 (% class="abc" %)
119 1. Bestimme mit Hilfe des Taschenrechners eine Ausgleichsgerade für die gegebenen Messwerte. Notiere auch den Korrelationskoeffizienten r.
120 1. Berechne mit Hilfe deiner Ausgleichsgeraden einen Näherungswert zum Zeitpunkt 7 Stunden nach dem Messbeginn.
121 {{/aufgabe}}
122
123 {{aufgabe id="Korrelation" afb="II" zeit="15" kompetenzen="K1, K3, K5" quelle="Niklas Wunder" cc="BY-SA"}}
124 Die Tabelle gibt Daten aus seriösen Quellen über die Anzahl der Storchenpaare und die Einwohneranzahl in den Jahren 1930 bis 1936 in Oldenburg wieder.
125
126 |=Jahr|1930|1931|1932|1933|1934|1935|1936
127 |=Anzahl der Storchenpaare|132|142|166|188|240|250|252
128 |=Anzahl der Einwohner|55400|55400|65000|67700|69800|72300|76000
129
130 (% class="abc" %)
131 1. Bestimme die Ausgleichsgerade zwischen Storchenpaaren und Einwohnerzahlen sowie den Korrelationskoeffizienten.
132 1. Alex behauptet, dass die Störche hauptsächlich für den Einwohnerzuwachs in Oldenburg verantwortlich waren. Nimm dazu begründet Stellung und beziehe den in a) berechneten Korrelationskoeffizienten in deine Begründung mit ein.
133 {{/aufgabe}}
134
135 {{aufgabe id="Füllstände" afb="III" zeit="25" kompetenzen="K2, K5, K6" tags="problemlösen" quelle="Problemlösegruppe" cc="BY-SA"}}
136
137 Die beiden abgebildeten Gefäße werden mit Wasser gefüllt. Ist es möglich, dass bei gleichem Füllstand genau gleich viel Wasser in den Gefäßen ist?
138 [[image:Füllstände Gefäße.PNG||width="400"]]
139
140 Finde gegebenenfalls diesen Füllstand und das zugehörige Wasservolumen heraus.
141
142 {{lehrende}}
143 **Variante:** Kleinere Klassenarbeitsaufgabe, Vergleich von Strategien/Lösungen
144 Ani, Ida und Ivo haben diese Fragestellung auf unterschiedliche Art bearbeitet:
145
146 Ani: Systematisches Probieren/Herantasten mithilfe einer Tabelle/Wertetabelle
147 Ida: Näherungsweise graphische Lösung
148 Ivo: Algebraisches Lösen einer Gleichung (Gleichsetzen des Volumens eines Kegels mit dem eines Dreiecksprismas)
149 {{/lehrende}}
150 {{/aufgabe}}
151
152
153 {{aufgabe id="Spiegeln an der Winkelhalbierenden" afb="III" kompetenzen="K4" quelle="Niklas Wunder, Martin Rathgeb" zeit="12" cc="BY-SA"}}
154 Graphische Transformationen gehören zu den Grundwerkzeugen der Mathematik. Neben der Verschiebung und der Streckung in Richtung einer Koordinatenachse bzw. der Spiegelung an einer Koordinatenachse gibt es eine weitere besondere Transformation, nämlich die //Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden//, das ist die Gerade mit der Gleichung {{formula}}y=x{{/formula}}. Diese Spiegelung bewirkt den Koordinatentausch {{formula}}(x|y)\mapsto (y|x){{/formula}}, d.h., die Umkehrung {{formula}}y\mapsto x{{/formula}} der Zuordnung {{formula}}x\mapsto y{{/formula}}.
155 Dazu drei Beispiele: Das Spiegelbild der positiv orientierten x-Achse ({{formula}}y=0{{/formula}}, ein Funktionsgraph) ist die positiv orientierte y-Achse ({{formula}}x=0{{/formula}}, kein Funktionsgraph); das Spiegelbild der positiv orientierten y-Achse wiederum ist die positiv orientierte x-Achse; das Spiegelbild der Normalparabel ({{formula}}y=x^2{{/formula}}, ein Funktionsgraph) sind die beiden Wurzeläste ({{formula}}y=\pm \sqrt{x}{{/formula}}) zusammengenommen (kein Funktionsgraph). Betrachten wir das dritte Beispiel genauer: Um aus der Gleichung {{formula}}y=x^2{{/formula}} rechnerisch die Gleichung {{formula}}y=\pm \sqrt{x}{{/formula}} zu ermitteln, löst man zunächst die Gleichung {{formula}}y=x^2{{/formula}} nach {{formula}}x{{/formula}} auf und tauscht dann in der erhaltenen Gleichung {{formula}}x=\pm \sqrt{y}{{/formula}} noch die Variablen gegeneinander aus ({{formula}}y=\pm \sqrt{x}{{/formula}}).
156
157 Betrachte nun die folgenden drei Gleichungen zu den nachfolgenden Funktionsgraphen: {{formula}}y=2x{{/formula}}, {{formula}}y=(x+2)^2{{/formula}} und {{formula}}y=x^3{{/formula}}.
158 [[image:Einheitsuebergreifend2.png||width="400px"]]
159
160 (% class="abc" %)
161 1. Löse die Gleichungen jeweils nach {{formula}}x{{/formula}} auf; du erhältst damit für {{formula}}x{{/formula}} einen Funktionsterm {{formula}}x(y){{/formula}} in {{formula}}y{{/formula}}.
162 1. Führe in den in a) berechneten Termen {{formula}}x(y){{/formula}} den Variablentausch durch, zeichne die Graphen der Umkehrungen zusätzlich ins Koordinatensystem ein und untersuche, wie die Paare von Graphen zur ersten Winkelhalbierenden liegen.
163 1. Die in a) berechneten Terme {{formula}}x(y){{/formula}} sind insbesondere in Monotonieintervallen von {{formula}}f{{/formula}} Funktionsterme von Umkehrfunktionen {{formula}}f^{-1}{{/formula}}. Untersuche die Ausdrücke {{formula}}f^{-1}(y){{/formula}}, indem du {{formula}}f(x){{/formula}} für {{formula}}y{{/formula}} einsetzt, und beschreibe, was dir (an der jeweiligen Vereinfachung) auffällt.
164 1. Abschließend stellt sich die Frage: Weshalb der Definitionsbereich der Funktionen {{formula}}f{{/formula}} (z.B. auf ein Monotonieintervall) verkleinert werden muss, um eine Umkehrfunktion zu erhalten? Begründe diese Einschränkung mit den Ergebnissen aus a) und b).
165 {{/aufgabe}}
166
167 {{matrix/}}