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Wiki-Quellcode von BPE 2 Einheitsübergreifend

Version 87.1 von Martin Rathgeb am 2024/12/23 00:49
Verstecke letzte Bearbeiter
Holger Engels 7.1 1 {{seiteninhalt/}}
akukin 1.1 2
Dirk Tebbe 84.1 3 {{aufgabe id="Weg zur Schule" afb="I" kompetenzen="K1,K3,K4" quelle="Ute Jutt, Ronja Franke" cc="BY-SA" zeit="20"}}
4 Kay möchte die Laufzeit für den Weg vom Bahnhof zur Schule berechnen. Die Laufzeit wird modelliert durch die Funktion {{formula}}t{{/formula}} mit {{formula}}t(v)= \frac{d}{v}{{/formula}} (Geschwindigkeit {{formula}}v{{/formula}} in km/min; Entfernung {{formula}}d{{/formula}} in km; Laufzeit {{formula}}t(v){{/formula}} in min). Eine Messung hat ergeben, dass die Schule vom Bahnhof 5 km entfernt liegt.
Martin Rathgeb 59.1 5
6 (% style="list-style: alphastyle" %)
Dirk Tebbe 84.1 7 1. Erstelle die Funktion {{formula}}t{{/formula}}, die die benötigte Zeit in Minuten in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit {{formula}}v{{/formula}} in km/h beschreibt.
8 1. Bestimme die Definitionslücke der Funktion {{formula}}t{{/formula}}.
9 1. Erläutere, warum es in diesem Kontext sinnvoll ist, eine Definitionslücke zu haben.
10 1. Zeichne den Graphen der Funktion {{formula}}t{{/formula}} und markiere die Definitionslücke.
Martin Rathgeb 59.1 11 {{/aufgabe}}
12
Martin Rathgeb 58.1 13 {{aufgabe id="Potenzgleichungen lösen - graphisch und rechnerisch" afb="II" zeit="15" kompetenzen="K4,K5" quelle="Martin Stern, Niklas Wunder" cc="BY-SA"}}
Martin Rathgeb 55.1 14 Gegeben sind die Funktionen //f// und //g// mit den Funktionsgleichungen {{formula}}f(x)=\sqrt{-x+1}{{/formula}} und {{formula}} g(x)=-\sqrt{x+5}+3 {{/formula}}.
Holger Engels 50.1 15
Holger Engels 49.3 16 (% style="list-style: alphastyle" %)
Holger Engels 50.1 17 1. Gib jeweils die maximale Defintionsmenge und den zugehörigen Wertebereich an.
Martin Rathgeb 56.3 18 1. Zeichne die Funktionsgraphen zu den Funktionen in ein gemeinsammes Koordinatensystem im Intervall {{formula}}[-6; +2]{{/formula}}.
Kim Fujan 57.1 19 1. Bestimme die Lösungen der Wurzelgleichung {{formula}}\sqrt{-x+1} = -\sqrt{x+5}+3{{/formula}} graphisch.
20 1. Berechne die Lösungen und vergleiche deine berechneten Lösungen mit den graphischen Lösungen aus c).
Niklas Wunder 20.1 21 {{/aufgabe}}
22
Kim Fujan 63.1 23 {{aufgabe id="Lineare Regression" afb="II" zeit="10" kompetenzen="K3, K4, K5" quelle="Universität Köln Dr.C.Lange" cc="BY-SA"}}
Niklas Wunder 27.1 24 Nachfolgend ist die Menge freier Chlorreste in ppm (parts per million) in Schwimmbecken als Funktion der Zeit (in Stunden)
Niklas Wunder 45.1 25 nach der Behandlung mit Chemikalien angegeben
26
Niklas Wunder 33.1 27 |=Zeit|2|4|6|8|10|12|
Martin Rathgeb 55.6 28 |=Menge|1,7|1,5|1,2|1,0|1,0|0,8|
Niklas Wunder 36.1 29
Martin Rathgeb 55.5 30 (% style="list-style: alphastyle" %)
31 1. Bestimme mit Hilfe des Taschenrechners eine Ausgleichsgerade für die gegebenen Messwerte. Notiere auch den Korrelationskoeffizienten r.
32 1. Berechne mit Hilfe deiner Ausgleichsgeraden einen Näherungswert zum Zeitpunkt 7 Stunden nach dem Messbeginn.
Niklas Wunder 26.1 33 {{/aufgabe}}
34
Kim Fujan 63.1 35 {{aufgabe id="Korrelation" afb="II" zeit="15" kompetenzen="K1, K3, K5" quelle="Niklas Wunder" cc="BY-SA"}}
Holger Engels 50.1 36 Die Tabelle gibt Daten aus seriösen Quellen über die Anzahl der Storchenpaare und die Einwohneranzahl in den Jahren 1930 bis 1936 in Oldenburg wieder.
Niklas Wunder 45.1 37
Niklas Wunder 44.1 38 |=Jahr|1930|1931|1932|1933|1934|1935|1936
39 |=Anzahl der Storchenpaare|132|142|166|188|240|250|252
40 |=Anzahl der Einwohner|55400|55400|65000|67700|69800|72300|76000
Niklas Wunder 45.1 41
Niklas Wunder 39.1 42 a) Bestimme die Ausgleichsgerade zwischen Storchenpaaren und Einwohnerzahlen sowie den Korrelationskoeffizienten.
43 b) Alex behauptet, dass die Störche hauptsächlich für den Einwohnerzuwachs in Oldenburg verantwortlich waren. Nimm dazu begründet Stellung und beziehe den in a) berechneten Korrelationskoeffizienten in deine Begründung mit ein.
Niklas Wunder 37.1 44 {{/aufgabe}}
Niklas Wunder 38.1 45
Kim Fujan 64.1 46 {{aufgabe id="Füllstände" afb="III" zeit="25" kompetenzen="K2, K5, K6" tags="problemlösen" quelle="Problemlösegruppe" cc="BY-SA"}}
47
48 Die beiden abgebildeten Gefäße werden mit Wasser gefüllt. Ist es möglich, dass bei gleichem Füllstand genau gleich viel Wasser in den Gefäßen ist?
49 [[image:Füllstände Gefäße.PNG||width="400"]]
50
51 Finde gegebenenfalls diesen Füllstand und das zugehörige Wasservolumen heraus.
52
53 {{lehrende}}
54 **Variante:** Kleinere Klassenarbeitsaufgabe, Vergleich von Strategien/Lösungen
55 Ani, Ida und Ivo haben diese Fragestellung auf unterschiedliche Art bearbeitet:
56
57 Ani: Systematisches Probieren/Herantasten mithilfe einer Tabelle/Wertetabelle
58 Ida: Näherungsweise graphische Lösung
59 Ivo: Algebraisches Lösen einer Gleichung (Gleichsetzen des Volumens eines Kegels mit dem eines Dreiecksprismas)
60 {{/lehrende}}
61 {{/aufgabe}}
62
Martin Rathgeb 87.1 63
64 {{aufgabe id="Spiegeln an der Winkelhalbierenden" afb="III" kompetenzen="K4" quelle="Niklas Wunder, Martin Rathgeb" zeit="12" cc="BY-SA"}}
65 Graphische Transformationen gehören zu den Grundwerkzeugen der Mathematik. Neben Verschiebungen, Streckungen und Spiegelungen an den Achsen gibt es eine besondere Transformation, die in ihrer Bedeutung oft übersehen wird: die Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden, d.h., an der Geraden mit Gleichung {{formula}}y=x{{/formula}}. Diese Transformation ist weit mehr als eine Spielerei, denn sie führt direkt zur Bestimmung der Umkehrfunktion einer gegebenen Funktion.
66
67 Betrachten wir dafür zunächst ein Beispiel. Für alle Funktionen schränkt man den Definitionsbereich auf {{formula}}x> 0{{/formula}} ein. Wieso dies sinnvoll ist wird später klar. Um die Funktionsgleichung nach Spiegelung rechnerisch zu ermitteln nimmt man die Funktionsgleichung, z.B. {{formula}} y=x^2{{/formula}}, löst diese nach x auf und vertauscht anschließend die Variablen so erhält man den gespiegelten Funktionsgraphen mit passender Funktionsgleichung.
68
69 {{formula}}
70 \begin{align*}
71 y=x^2 \;\; | \,\sqrt{\phantomtext}\\
72 x=\sqrt{y}\;\;
73 {{/formula}}
74 Vertausche x und y miteinander um die Funktionsgleichung des gespiegelten Funktionsgraphens zu erhalten.
75 {{formula}}
76 y=\sqrt{x}
77 \end{align*}
78 {{/formula}}
79
80 (% class="abc" %)
81 1. Bestimme nun die an der ersten Winkelhalbierenden gespiegelten Funktionen für folgende Beispiele:
82
83 1. Zeichne außerdem die gespiegelten Graphen und überprüfe, wie sich diese zur Winkelhalbierenden verhalten.
84 1. Die in a) berechneten Funktionen nennt man Umkehrfunktionen ({{formula}}f^{-1}{{/formula}}). Untersuche den Ausdruck {{formula}}f^{-1}(y){{/formula}} für {{formula}}y=f(x){{/formula}} und beschreibe, was dir auffällt.
85 1. Abschließend stellt sich die Frage: Warum muss der Definitionsbereich der Funktion //f// verkleinert werden, wenn die Umkehrfunktion berechnet wird? Begründe diese Einschränkung mit den Ergebnissen aus a) und b).
86 [[image:Einheitsuebergreifend2.png||width="400px"]]
87 {{/aufgabe}}
88
89 {{aufgabe id="Spiegeln an der Winkelhalbierenden (alt)" afb="III" kompetenzen="K4" quelle="Niklas Wunder" zeit="12" cc="BY-SA"}}
Holger Engels 85.1 90 Neben der Spiegelung an der x- und y- Achse kann man auch an der ersten Winkelhalbierenden (gegeben durch y=x) einen Funktionsgraphen spiegeln. Für alle Funktionen schränkt man den Definitionsbereich auf {{formula}}x> 0{{/formula}} ein. Wieso dies sinnvoll ist wird später klar. Um die Funktionsgleichung nach Spiegelung rechnerisch zu ermitteln nimmt man die Funktionsgleichung, z.B. {{formula}} y=x^2{{/formula}}, löst diese nach x auf und vertauscht anschließend die Variablen so erhält man den gespiegelten Funktionsgraphen mit passender Funktionsgleichung.
91
92 {{formula}}
93 \begin{align*}
94 y=x^2 \;\; | \,\sqrt{\phantomtext}\\
95 x=\sqrt{y}\;\;
96 {{/formula}}
97 Vertausche x und y miteinander um die Funktionsgleichung des gespiegelten Funktionsgraphens zu erhalten.
98 {{formula}}
99 y=\sqrt{x}
100 \end{align*}
101 {{/formula}}
102
103 (% class="abc" %)
104 1. Bestimme die an der ersten Winkelhabierenden gespiegelten Funktionen {{formula}} f(x)=\frac{1}{x}; g(x)= \frac{1}{x^2} {{/formula}} und {{formula}} h(x)= \frac{2\,x+3}{-4\,x-2}{{/formula}}. Hinweis: {{formula}}x >0{{/formula}}
105 1. Bestimme graphisch den an der ersten Winkelhalbierenden gespiegelten Graphen zu den drei dargestellten Graphen.
106 1. Die in a) berechneten Funktionen nennt man auch Umkehrfunktionen (Abkürzung {{formula}} f^{-1}{{/formula}} ) . Berechne den Funktionsterm {{formula}} f^{-1}(f(x)){{/formula}}. Beschreibe deine Beobachtung. Hinweis: Setze dazu den Term der Funktionsgleichung {{formula}}f(x){{/formula}} in die in a) berechnete Umkehrfunktion {{formula}} f^{-1}{{/formula}} ein und fasse zusammen.
107 1. Begründe mit Hilfe deiner Lösungen von a) und b) wieso der Definitionsbereich der Funktion {{formula}} f
108 {{/formula}} verkleinert werden muss, wenn man die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion berechnet.
109
110 [[image:Einheitsuebergreifend2.png||width="400px"]]
111 {{/aufgabe}}
112
Holger Engels 64.3 113 {{matrix/}}