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Version 3.1 von akukin am 2025/09/03 15:40
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1 (%class=abc%)
2 1. (((Folgende Größen lassen sich direkt ablesen:
3 Scheitelform: Scheitelpunkt {{formula}}S(x_S|y_S){{/formula}}
4 Hauptform: y-Achsenabschnitt {{formula}}c{{/formula}}
5 Produktform: Nullstellen {{formula}}x_1,x_2{{/formula}}
6 Gestrecke Normalform: Streckfaktor {{formula}}a{{/formula}}
7 )))
8 1. (((Siehe Tabelle in Teilaufgabe c). )))
9 1. (((Es lassen sich beispielsweise folgende Zusammenhänge erkennen:
10 * Die Zeilen 1 und 2 sind invers zu einander, das heißt, wenn man die Gleichungen in Zeile 1 nach {{formula}}x_S{{/formula}} und {{formula}}y_S{{/formula}} umstellt, so erhält man die Gleichungen in Zeile 2 und andersrum genauso.
11 * Die Zeilen 4 und 5 sind invers zu einander
12 * Setzt man die Gleichungen aus Zeile 2 in die Gleichungen in Zeile 3 ein, so erhält man die Gleichungen in Zeile 4
13 )))
14 1. (((//Formeln anwenden//. Ergänze die Leerstellen in folgender Tabelle.
15 (% class="border" %)
16 |Nr. |Gestreckte Normalform |Scheitelform |Produktform
17 |1 |{{formula}}y = x^2 - 4x + 3{{/formula}} |{{formula}}y=(x-2)^2-1{{/formula}} | {{formula}}y=(x-1)(x-3){{/formula}}
18 |2 |{{formula}}y=x^2-2x+5{{/formula}}|{{formula}}y = (x - 1)^2 + 4{{/formula}} | ↯
19 |3 |{{formula}}y=x^2+4x+4{{/formula}}|{{formula}}y=(x+2)^2{{/formula}}|{{formula}}y = (x + 2)(x + 2)=(x + 2)^2{{/formula}}
20 |4 |{{formula}}y = -(x^2 - 4x + 1){{/formula}} |{{formula}}y=-(x-2)^2+3{{/formula}}|{{formula}}y=-(x-(2+\sqrt{3})(x-(2-\sqrt{3})){{/formula}}
21 |5 |{{formula}}y=-\pi(x^2-2\pi x+\pi^2){{/formula}}|{{formula}}y = -\pi(x - \pi)^2{{/formula}} | {{formula}}y=-\pi(x-\pi)^2{{/formula}}
22 |6 |{{formula}}y=-(x^2+2x+5){{/formula}}|{{formula}}y=-(x+1)^2+2{{/formula}}|{{formula}}y = -(x + 1 - \sqrt{2})(x + 1 + \sqrt{2}){{/formula}}
23 |7 |{{formula}}y = 2(x^2 + 2x + 5){{/formula}} |{{formula}}y=2(x+1)^2+8{{/formula}}|↯
24 |8 |{{formula}}y=-\frac{3}{2}(x^2-4x+4){{/formula}}|{{formula}}y = -\frac{3}{2}(x - 2)^2{{/formula}} | {{formula}}y = -\frac{3}{2}(x - 2)^2{{/formula}}
25 |9 |{{formula}}y=\sqrt{2}(x^2-5x+6){{/formula}}|{{formula}}y = \sqrt{2}\left(x-\frac{5}{2}\right)^2-\frac{\sqrt{2}}{4}{{/formula}}|{{formula}}y = \sqrt{2}(x - 2)(x - 3){{/formula}}
26 )))
27 1. (((__Zeile 1 (Scheitelform zur gestreckten Normalform)__:
28 Umformen der Scheitelform ergibt:
29 {{formula}}
30 \begin{align*}
31 y&=a(x-x_S)^2+y_S \quad \mid \text{2. binomische Formel}\\
32 &= a(x^2-2x_Sx+x_S^2)+y_S \\
33 &=a(x^2-2x_Sx+x_S^2+\frac{y_S}{a})
34 \end{align*}
35 {{/formula}}
36
37 Koeffizientenvergleich mit {{formula}}y=a(x^2+px+q){{/formula}} liefert {{formula}}p=-2x_S{{/formula}} und {{formula}}q=x_S^2+\frac{y_S}{a}=x_S^2+y_S^*{{/formula}}
38
39 __Zeile 2 (Gestreckte Normalform zur Scheitelform)__:
40 Umstellen von {{formula}}p=-2x_S{{/formula}} nach {{formula}}x_S{{/formula}} führt zu {{formula}}x_S=-\frac{p}{2}{{/formula}}
41 Umstellen von {{formula}}q=x_S^2+y_S^*{{/formula}} nach {{formula}}y_S{{/formula}} führt zu {{formula}}y_S=-\frac{p^2}{4}+q{{/formula}}
42
43 //Alternativ kommt man mit quadratischer Ergänzung von der gestreckten Normalform zur Scheitelform und kann Zeile 2 so begründen.//
44
45 __Zeile 3 (Scheitelform zur Produktform)__:
46 Um zur Produktform zu gelangen, bestimmen wir die Nullstellen der Scheitelform:
47 {{formula}}
48 \begin{align*}
49 a(x-x_S)^2+y_S=0 \\
50 \Leftrightarrow a\left((x-x_S)^2+\frac{y_S}{a}\right)=0 \\
51 \Leftrightarrow (x-x_S)^2+y_S^*=0 \\
52 \Leftrightarrow (x-x_S)^2=-y_S^* \\
53 \end{align*}
54 {{/formula}}
55
56 Durch Wurzelziehen erhalten wir:
57 {{formula}}
58 \begin{align*}
59 x-x_S=\pm \sqrt{-y_S^*} \quad \mid +x_S\\
60 \Leftrightarrow x_{1,2}=x_S\pm \sqrt{-y_S^*}
61 \end{align*}
62 {{/formula}}
63
64 __Zeile 6 (Produktform zur Scheitelform)__:
65 Die Nullstellen {{formula}}x_1, x_2{{/formula}} sind direkt aus der Produkform ablesbar.
66 Wir wissen, dass der Scheitelpunkt der Parabel in der Mitte der beiden Nullstellen liegen muss. Das heißt der x-Wert des Scheitelpunktes ist gegeben durch {{formula}}x_S=\frac{x_1+x_2}{2}{{/formula}}.
67 Um nun den zugehörigen y-Wert des Scheitelpunktes zu erhalten, setzen wir {{formula}}x_S{{/formula}} in die Gleichung der Produktform ein:
68 {{formula}}y_S=a(x_S-x_1)(x_S-x_2)=a\frac{x_2-x_1}{2}\cdot\left(-\frac{x_2-x_1}{2}\right)=a\cdot \left(-\frac{(x_2-x_1)^2}{4}\right){{/formula}}
69 Somit ist {{formula}}y_S^*=\frac{y_S}{a}= -\frac{(x_2-x_1)^2}{4}{{/formula}}.
70 {{formula}}
71 )))