Lösung Erkunden (eine Potenzfunktion) - Wertetabelle
Randverhalten: Verhalten im Unendlichen
1) Verhalten gegen plus Unendlich (\(+\infty\))\(x\) \(+1\) \(+10\) \(+100\) \(+1000\) \(+10^6\) \(+10^9\) \(+10^{12}\) \(+10^{+\infty}\) \(f(x)\) 1 \(\frac{1}{10}\) \(\frac{1}{100}\) \(\frac{1}{1000}\) \(\frac{1}{1000000}\) \(\frac{1}{1000000000}\) \(\frac{1}{1000000000000}\) 0 2) Verhalten gegen minus Unendlich (\(-\infty\))
\(x\) \(-1\) \(-10\) \(-100\) \(-1000\) \(-10^6\) \(-10^9\) \(-10^{12}\) \(-10^{-\infty}\) \(f(x)\) \(-1\) \(-\frac{1}{10}\) \(-\frac{1}{100}\) \(-\frac{1}{1000}\) \(-\frac{1}{1000000}\) \(-\frac{1}{1000000000}\) \(-\frac{1}{1000000000000}\) 0 Randverhalten: Verhalten nahe der Definitionslücke (\(x \approx 0\))
1) Verhalten links bei der Definitionslücke (\(x \approx 0\) mit \(x<0\))\(x\) \(-1\) \(-0,1\) \(-0,01\) \(-0,001\) \(-10^{-6}\) \(-10^{-9}\) \(-10^{-12}\) 0 \(f(x)\) \(-1\) \(-10\) \(-100\) \(-1000\) \(-10^6\) \(-10^9\) \(-10^{-12}\) \(-\infty\) 2) Verhalten rechts bei der Definitionslücke (\(x \approx 0\) mit \(x>0\))
\(x\) \(+1\) \(+0,1\) \(+0,01\) \(+0,001\) \(+10^{-6}\) \(+10^{-9}\) \(+10^{-12}\) 0 \(f(x)\) \(1\) \(10\) \(100\) \(1000\) \(10^6\) \(10^9\) \(10^{-12}\) \(\infty\)
Zur Symmetrie:
Die Funktion \( f(x) = \frac{1}{x} \) ist punktsymmetrisch zur Ursprungsgeraden, da gilt:
\(f(-x) = -f(x)\)
Das bedeutet, dass die Funktion eine Symmetrie bezüglich des Ursprungs hat.
Zum Randverhalten:
{Verhalten im Unendlichen}
\(\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0\)
\(\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0\){Verhalten nahe der Definitionslücke}
\(\lim_{x \to 0^-} f(x) = -\infty\)
\(\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty\)