Änderungen von Dokument Lösung Symmetrie nachweisen

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Seiteneigenschaften

Inhalt

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1	1	**Vorbemerkung:**
2	2	1. Für die angegebenen Funktionsgleichungen ist jeweils {{formula}}\mathbb{R}^*{{/formula}} der maximale Definitionsbereich {{formula}}\bold{D}{{/formula}}.
3		-1. Diese Zahlenmenge ist zur y-Achse symmetrisch, denn mit {{formula}}x\in \mathbb{R}^*{{/formula}} gilt stets auch {{formula}}-x\in \mathbb{R}^*{{/formula}}. Damit ist gezeigt, was verlangt war (alias q.e.d.).
	3	+1. Diese Zahlenmenge ist zur y-Achse symmetrisch, denn mit {{formula}}x\in \mathbb{R}^*{{/formula}} gilt stets auch {{formula}}-x\in \mathbb{R}^*{{/formula}}.
4	4	{{formula}}\emph{Expliziter:}{{/formula}} Es sei ein {{formula}}x\in \bold{D}{{/formula}} gegeben, d.h. {{formula}}x\in \mathbb{R}^*{{/formula}}, also gilt {{formula}}x\in \mathbb{R}{{/formula}} und {{formula}}x\ne 0{{/formula}}. Daraus folgt {{formula}}-x\in \mathbb{R}{{/formula}} und {{formula}}-x\ne 0{{/formula}}, also gilt {{formula}}-x\in \mathbb{R}^*{{/formula}}, d.h. {{formula}}-x\in \bold{D}{{/formula}}.
5		-1. Wenn ein Funktionsgraph K,,f,, symmetrisch zum Ursprung und symmetrisch zur y-Achse ist, dann muss die Funktion eine Nullabbildung ({{formula}}x\mapsto 0{{/formula}}) sein.
6		-{{formula}}\emph{Expliziter:}{{/formula}} Nach Voraussetzung gilt die Termkette {{formula}}-f(x)=f(-x)=f(x){{/formula}}, also {{formula}}-f(x)=f(x){{/formula}} bzw. {{formula}}0=2\cdot f(x){{/formula}} bzw. {{formula}}f(x)=0{{/formula}}.
7		-1. Die Funktionen in den Teilaufgaben sind offensichtlich keine Nullabbildungen, also ist jeder Nachweis der Symmetrie zum Ursprung zugleich ein Nachweis, dass keine Symmetrie zur y-Achse vorliegt, und umgekehrt ist jeder Nachweis der Symmetrie zur y-Achse zugleich ein Nachweis, dass keine Symmetrie zum Ursprung vorliegt.
	5	+1. Bei Bearbeitung der Teilaufgaben zeigen wir eine vorliegende Symmetrie jeweils durch eine allgemeine Rechnung und zeigen eine Nicht-Symmetrie jeweils durch ein (Gegen-)Beispiel. - Dieses Vorgehen ist zum Teil redundant, denn die Funktionen in den Teilaufgaben sind offensichtlich keine Nullabbildungen und es können nur Nullabbildungen beide Symmetrien haben.
	6	+{{formula}}\emph{Expliziter:}{{/formula}} Wenn ein Funktionsgraph K,,f,, symmetrisch zum Ursprung und symmetrisch zur y-Achse ist, dann muss die Funktion eine Nullabbildung ({{formula}}x\mapsto 0{{/formula}}) sein. Denn nach Voraussetzung gilt die Termkette {{formula}}-f(x)=f(-x)=f(x){{/formula}}, also die Gleichungen {{formula}}-f(x)=f(x){{/formula}} bzw. {{formula}}0=2\cdot f(x){{/formula}} bzw. {{formula}}f(x)=0{{/formula}}.
8	8
9	9	**Teilaufgaben:**
10	10	(% style="list-style: alphastyle" %)
11	11	1. Es gilt allgemein {{formula}}f(-x)=\frac{5}{-x}=-(\frac{5}{x})=-f(x){{/formula}} für jedes {{formula}}x\in \bold{D}{{/formula}}, also ist K,,f,, symmetrisch zum Ursprung.
12		-Es zeigt bereits das (Gegen-)Beispiel {{formula}}f(-1)=\frac{5}{-1}=-5\ne 5=\frac{5}{1}=f(1){{/formula}}, dass K,,f,, nicht symmetrisch zur y-Achse ist.
13		-1. Es zeigt bereits das (Gegen-)Beispiel {{formula}}f(-1)=\frac{5}{-1}+1=-4\ne -(6)=-(\frac{5}{1}+1)=-f(1){{/formula}}, dass K,,f,, nicht symmetrisch zum Ursprung ist.
14		-Es zeigt bereits das (Gegen-)Beispiel {{formula}}f(-1)=\frac{5}{-1}+1=-4\ne 6=\frac{5}{1}+1=f(1){{/formula}}, dass K,,f,, nicht symmetrisch zur y-Achse ist.
	11	+Es zeigt bereits das (Gegen-)Beispiel {{formula}}f(-1)=-5\ne 5=f(1){{/formula}}, dass K,,f,, nicht symmetrisch zur y-Achse ist.
	12	+1. Es zeigt bereits das (Gegen-)Beispiel {{formula}}f(-1)=-4\ne -6=-f(1){{/formula}}, dass K,,f,, nicht symmetrisch zum Ursprung ist.
	13	+Es zeigt bereits das (Gegen-)Beispiel {{formula}}f(-1)=-4\ne 6=f(1){{/formula}}, dass K,,f,, nicht symmetrisch zur y-Achse ist.
15	15	1. Es gilt allgemein {{formula}}f(-x)=\frac{5}{(-x)^2}=\frac{5}{x^2}=f(x){{/formula}} für jedes {{formula}}x\in \bold{D}{{/formula}}, also ist K,,f,, symmetrisch zur y-Achse.
16		-Es zeigt bereits das (Gegen-)Beispiel {{formula}}f(-1)=\frac{5}{(-1)^2}=5\ne -(5)=-(\frac{5}{(1)^2})=-f(1){{/formula}}, dass K,,f,, nicht symmetrisch zum Ursprung ist.
	15	+Es zeigt bereits das (Gegen-)Beispiel {{formula}}f(-1)=5\ne -5=-f(1){{/formula}}, dass K,,f,, nicht symmetrisch zum Ursprung ist.
17	17	1. Es gilt allgemein {{formula}}f(-x)=\frac{5}{(-x)^2}+1=\frac{5}{x^2}+1=f(x){{/formula}} für jedes {{formula}}x\in \bold{D}{{/formula}}, also ist K,,f,, symmetrisch zur y-Achse.
18		-Es zeigt bereits das (Gegen-)Beispiel {{formula}}f(-1)=\frac{5}{(-1)^2}+1=6\ne -(6)=-(\frac{5}{(1)^2}+1)=-f(1){{/formula}}, dass K,,f,, nicht symmetrisch zum Ursprung ist.
	17	+Es zeigt bereits das (Gegen-)Beispiel {{formula}}f(-1)=6\ne -6=-f(1){{/formula}}, dass K,,f,, nicht symmetrisch zum Ursprung ist.