Wiki-Quellcode von Lösung Symmetrie nachweisen
Zuletzt geändert von Martin Rathgeb am 2024/11/05 23:14
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| author | version | line-number | content |
|---|---|---|---|
| 1 | **Vorbemerkung:** | ||
| 2 | 1. Für die angegebenen Funktionsgleichungen ist jeweils {{formula}}\mathbb{R}^*{{/formula}} der maximale Definitionsbereich {{formula}}\bold{D}{{/formula}}. | ||
| 3 | 1. Diese Zahlenmenge ist zur y-Achse symmetrisch, denn mit {{formula}}x\in \mathbb{R}^*{{/formula}} gilt stets auch {{formula}}-x\in \mathbb{R}^*{{/formula}}. | ||
| 4 | {{formula}}\emph{Expliziter:}{{/formula}} Es sei ein {{formula}}x\in \bold{D}{{/formula}} gegeben, d.h. {{formula}}x\in \mathbb{R}^*{{/formula}}, also gilt {{formula}}x\in \mathbb{R}{{/formula}} und {{formula}}x\ne 0{{/formula}}. Daraus folgt {{formula}}-x\in \mathbb{R}{{/formula}} und {{formula}}-x\ne 0{{/formula}}, also gilt {{formula}}-x\in \mathbb{R}^*{{/formula}}, d.h. {{formula}}-x\in \bold{D}{{/formula}}. | ||
| 5 | 1. Bei Bearbeitung der Teilaufgaben zeigen wir eine vorliegende Symmetrie jeweils durch eine allgemeine Rechnung und zeigen eine Nicht-Symmetrie jeweils durch ein (Gegen-)Beispiel. - Dieses Vorgehen ist zum Teil redundant, denn die Funktionen in den Teilaufgaben sind offensichtlich keine Nullabbildungen und es können nur Nullabbildungen beide Symmetrien haben. | ||
| 6 | {{formula}}\emph{Expliziter:}{{/formula}} Wenn ein Funktionsgraph K,,f,, symmetrisch zum Ursprung und symmetrisch zur y-Achse ist, dann muss die Funktion eine Nullabbildung ({{formula}}x\mapsto 0{{/formula}}) sein. Denn nach Voraussetzung gilt die Termkette {{formula}}-f(x)=f(-x)=f(x){{/formula}}, also die Gleichungen {{formula}}-f(x)=f(x){{/formula}} bzw. {{formula}}0=2\cdot f(x){{/formula}} bzw. {{formula}}f(x)=0{{/formula}}. | ||
| 7 | |||
| 8 | **Teilaufgaben:** | ||
| 9 | (% style="list-style: alphastyle" %) | ||
| 10 | 1. Es gilt allgemein {{formula}}f(-x)=\frac{5}{-x}=-(\frac{5}{x})=-f(x){{/formula}} für jedes {{formula}}x\in \bold{D}{{/formula}}, also ist K,,f,, symmetrisch zum Ursprung. | ||
| 11 | Es zeigt bereits das (Gegen-)Beispiel {{formula}}f(-1)=-5\ne 5=f(1){{/formula}}, dass K,,f,, nicht symmetrisch zur y-Achse ist. | ||
| 12 | 1. Es zeigt bereits das (Gegen-)Beispiel {{formula}}f(-1)=-4\ne -6=-f(1){{/formula}}, dass K,,f,, nicht symmetrisch zum Ursprung ist. | ||
| 13 | Es zeigt bereits das (Gegen-)Beispiel {{formula}}f(-1)=-4\ne 6=f(1){{/formula}}, dass K,,f,, nicht symmetrisch zur y-Achse ist. | ||
| 14 | 1. Es gilt allgemein {{formula}}f(-x)=\frac{5}{(-x)^2}=\frac{5}{x^2}=f(x){{/formula}} für jedes {{formula}}x\in \bold{D}{{/formula}}, also ist K,,f,, symmetrisch zur y-Achse. | ||
| 15 | Es zeigt bereits das (Gegen-)Beispiel {{formula}}f(-1)=5\ne -5=-f(1){{/formula}}, dass K,,f,, nicht symmetrisch zum Ursprung ist. | ||
| 16 | 1. Es gilt allgemein {{formula}}f(-x)=\frac{5}{(-x)^2}+1=\frac{5}{x^2}+1=f(x){{/formula}} für jedes {{formula}}x\in \bold{D}{{/formula}}, also ist K,,f,, symmetrisch zur y-Achse. | ||
| 17 | Es zeigt bereits das (Gegen-)Beispiel {{formula}}f(-1)=6\ne -6=-f(1){{/formula}}, dass K,,f,, nicht symmetrisch zum Ursprung ist. |