Änderungen von Dokument Lösung Kosten- und Erlösfunktion

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Seiteneigenschaften

Inhalt

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2	2	1. Das Schaubild der Erlösfunktion ist eine Ursprungsgerade mit der Steigung 10.
3	3	Um das Schaubild der Erlösfunktion zu zeichnen, erstellen wir (mit dem Taschenrechner) eine Wertetabelle und zeichnen die Punkte ins Koordinatensystem und verbinden sie anschließend.
4	4	[[image:ErlösundKostenfunktion.png||width="250" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
5		-1. (((Da sich die Graphen der beiden Funktionen __in etwa__ an den Stellen {{formula}}x=1{{/formula}} und {{formula}}x=8{{/formula}} schneiden, sind Kosten und Erlös an beiden Stellen __ungefähr__ gleich groß.
6		-Alternativ sehen wir auch durch Rechnung, dass die Funktionswerte an beiden Stellen __fast__ gleich groß sind:
7		-
8		-{{formula}}
9		-\begin{align}
10		-K(1)&=0,2\cdot 1^3-1^2+4\cdot1+8=0,2-1+4+8 \\
11		- &=11,2 \\
12		-&\approx E(1)=10\cdot1=10
13		-\end{align}
14		-{{/formula}}
15		-
16		-{{formula}}
17		-\begin{align}
18		-K(8)&=0,2\cdot 8^3-8^2+4\cdot8+8=102,4-64+32+8 \\
19		- &=78,4 \\
20		- &\approx E(8)=10\cdot8=80
21		-\end{align}
22		-{{/formula}}
23		-
24		-)))
25		-1. (((Wir erhalten die Gewinnfunktion {{formula}}G{{/formula}}, indem wir vom Erlös die Kosten abziehen, das heißt
26		-
27		-{{formula}}
28		-\begin{align}
29		-G(x)&=E(x)-K(x) \\
30		- &=10x-(0,2x^3-x^2+4x+8)=10x-0,2x^3+x^2-4x-8 \\
31		- &=-0,2x^3+x^2+6x+8
32		-\end{align}
33		-{{/formula}}
34		-
35		-Mit einer Wertetabelle können wir feststellen, dass die Funktion {{formula}}G(x){{/formula}} ihr Maximum bei etwa (5|38) hat (Genauer bei etwa (5,24|38,16)).
36		-
37		-Der maximale Gewinn beträgt also 38 GE.
38		-)))
39		-1. ((( Es gilt {{formula}}K_{neu}(1)=10=E(1){{/formula}} und {{formula}}K_{neu}(8)=80,14\approx 80=E(8){{/formula}}. Somit sind für 1 ME und 8 ME Kosten und Erlös gleich groß. Die Gewinnzone liegt also unverändert zwischen {{formula}}x=1{{/formula}} und {{formula}}x=8{{/formula}}.
40		-
41		-Die neue Gewinnfunktion ist
42		-
43		-{{formula}}
44		-\begin{align}
45		-G(x)&=E(x)-K(x) \\
46		- &=10x-(1,88x^2-6,9x+15,02)=10x-1,88x^2+6,9x-15,02 \\
47		- &=-1,88x^2+16,9x-15,02
48		-\end{align}
49		-{{/formula}}
50		-
51		-Da {{formula}}G(x){{/formula}} eine nach unten geöffnete Parabel ist, wissen wir, dass das Maximum der Funktion der Scheitelpunkt ist. Dieser liegt genau zwischen den beiden Nullstellen von {{formula}}G(x){{/formula}}.
52		-Der Gewinn ist genau dann 0, wenn der Erlös genauso groß ist wie die Kosten.
53		-Da wir bereits wissen, dass die Erlös- und Kostenfunktion an den Stellen {{formula}}x_1=1{{/formula}} und {{formula}}x_2\approx 8{{/formula}} gleich groß sind, sind dies die Nullstellen der Funktion {{formula}}G(x){{/formula}}.
54		-
55		-Das Maximum liegt genau zwischen den beiden Nullstellen der Funktion, das heißt an der Stelle {{formula}}x=\frac{1+8}{2}=4,5{{/formula}}.
56		-
57		-{{formula}}G(4,5)\approx 22,96{{/formula}}
58		-
59		-Der maximale Gewinn beträgt also in etwa 22,96 GE und bleibt somit nicht gleich.
60		-
61		-)))
62		-