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Zuletzt geändert von akukin am 2025/08/03 17:24
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1 (%class=abc%)
2 1. Das Schaubild der Erlösfunktion ist eine Ursprungsgerade mit der Steigung 10.
3 Um das Schaubild der Erlösfunktion zu zeichnen, erstellen wir (mit dem Taschenrechner) eine Wertetabelle und zeichnen die Punkte ins Koordinatensystem und verbinden sie anschließend.
4 [[image:ErlösundKostenfunktion.png||width="250" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
5 1. (((Da sich die Graphen der beiden Funktionen __in etwa__ an den Stellen {{formula}}x=1{{/formula}} und {{formula}}x=8{{/formula}} schneiden, sind Kosten und Erlös an beiden Stellen __ungefähr__ gleich groß.
6 Alternativ sehen wir auch durch Rechnung, dass die Funktionswerte an beiden Stellen __fast__ gleich groß sind:
7
8 {{formula}}
9 \begin{align}
10 K(1)&=0,2\cdot 1^3-1^2+4\cdot1+8=0,2-1+4+8 \\
11 &=11,2 \\
12 &\approx E(1)=10\cdot1=10
13 \end{align}
14 {{/formula}}
15
16 {{formula}}
17 \begin{align}
18 K(8)&=0,2\cdot 8^3-8^2+4\cdot8+8=102,4-64+32+8 \\
19 &=78,4 \\
20 &\approx E(8)=10\cdot8=80
21 \end{align}
22 {{/formula}}
23
24 )))
25 1. (((Wir erhalten die Gewinnfunktion {{formula}}G{{/formula}}, indem wir vom Erlös die Kosten abziehen, das heißt
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27 {{formula}}
28 \begin{align}
29 G(x)&=E(x)-K(x) \\
30 &=10x-(0,2x^3-x^2+4x+8)=10x-0,2x^3+x^2-4x-8 \\
31 &=-0,2x^3+x^2+6x+8
32 \end{align}
33 {{/formula}}
34
35 Mit einer Wertetabelle können wir feststellen, dass die Funktion {{formula}}G(x){{/formula}} ihr Maximum bei etwa (5|38) hat (Genauer bei etwa (5,24|38,16)).
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37 Der maximale Gewinn beträgt also 38 GE.
38 )))
39 1. ((( Es gilt {{formula}}K_{neu}(1)=10=E(1){{/formula}} und {{formula}}K_{neu}(8)=80,14\approx 80=E(8){{/formula}}. Somit sind für 1 ME und 8 ME Kosten und Erlös gleich groß. Die Gewinnzone liegt also unverändert zwischen {{formula}}x=1{{/formula}} und {{formula}}x=8{{/formula}}.
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41 Die neue Gewinnfunktion ist
42
43 {{formula}}
44 \begin{align}
45 G(x)&=E(x)-K(x) \\
46 &=10x-(1,88x^2-6,9x+15,02)=10x-1,88x^2+6,9x-15,02 \\
47 &=-1,88x^2+16,9x-15,02
48 \end{align}
49 {{/formula}}
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51 Da {{formula}}G(x){{/formula}} eine nach unten geöffnete Parabel ist, wissen wir, dass das Maximum der Funktion der Scheitelpunkt ist. Dieser liegt genau zwischen den beiden Nullstellen von {{formula}}G(x){{/formula}}.
52 Der Gewinn ist genau dann 0, wenn der Erlös genauso groß ist wie die Kosten.
53 Da wir bereits wissen, dass die Erlös- und Kostenfunktion an den Stellen {{formula}}x_1=1{{/formula}} und {{formula}}x_2\approx 8{{/formula}} gleich groß sind, sind dies die Nullstellen der Funktion {{formula}}G(x){{/formula}}.
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55 Das Maximum liegt genau zwischen den beiden Nullstellen der Funktion, das heißt an der Stelle {{formula}}x=\frac{1+8}{2}=4,5{{/formula}}.
56
57 {{formula}}G(4,5)\approx 22,96{{/formula}}
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59 Der maximale Gewinn beträgt also in etwa 22,96 GE und bleibt somit nicht gleich.
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61 )))