Änderungen von Dokument Lösung Kosten- und Erlösfunktion

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Seiteneigenschaften

Inhalt

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2	2	1. Das Schaubild der Erlösfunktion ist eine Ursprungsgerade mit der Steigung 10.
3	3	Um das Schaubild der Erlösfunktion zu zeichnen, erstellen wir (mit dem Taschenrechner) eine Wertetabelle und zeichnen die Punkte ins Koordinatensystem und verbinden sie anschließend.
4	4	[[image:ErlösundKostenfunktion.png||width="250" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
	5	+1. (((Da sich die Graphen der beiden Funktionen __in etwa__ an den Stellen {{formula}}x=1{{/formula}} und {{formula}}x=8{{/formula}} schneiden, sind Kosten und Erlös an beiden Stellen __ungefähr__ gleich groß.
	6	+Alternativ sehen wir auch durch Rechnung, dass die Funktionswerte an beiden Stellen __fast__ gleich groß sind:
	7	+
	8	+{{formula}}
	9	+\begin{align}
	10	+K(1)&=0,2\cdot 1^3-1^2+4\cdot1+8=0,2-1+4+8 \\
	11	+ &=11,2 \\
	12	+&\approx E(1)=10\cdot1=10
	13	+\end{align}
	14	+{{/formula}}
	15	+
	16	+{{formula}}
	17	+\begin{align}
	18	+K(8)&=0,2\cdot 8^3-8^2+4\cdot8+8=102,4-64+32+8 \\
	19	+ &=78,4 \\
	20	+ &\approx E(8)=10\cdot8=80
	21	+\end{align}
	22	+{{/formula}}
	23	+
	24	+)))
	25	+1. (((Wir erhalten die Gewinnfunktion {{formula}}G{{/formula}}, indem wir vom Erlös die Kosten abziehen, das heißt
	26	+
	27	+{{formula}}
	28	+\begin{align}
	29	+G(x)&=E(x)-K(x) \\
	30	+ &=10x-(0,2x^3-x^2+4x+8)=10x-0,2x^3+x^2-4x-8 \\
	31	+ &=-0,2x^3+x^2+6x+8
	32	+\end{align}
	33	+{{/formula}}
	34	+
	35	+Mit einer Wertetabelle können wir feststellen, dass die Funktion {{formula}}G(x){{/formula}} ihr Maximum bei etwa (5|38) hat (Genauer bei etwa (5,24|38,16)).
	36	+
	37	+Der maximale Gewinn beträgt also 38 GE.
	38	+)))
	39	+1. ((( Es gilt {{formula}}K_{neu}(1)=10=E(1){{/formula}} und {{formula}}K_{neu}(8)=80,14\approx 80=E(8){{/formula}}. Somit sind für 1 ME und 8 ME Kosten und Erlös gleich groß. Die Gewinnzone liegt also unverändert zwischen {{formula}}x=1{{/formula}} und {{formula}}x=8{{/formula}}.
	40	+
	41	+Die neue Gewinnfunktion ist
	42	+
	43	+{{formula}}
	44	+\begin{align}
	45	+G(x)&=E(x)-K(x) \\
	46	+ &=10x-(1,88x^2-6,9x+15,02)=10x-1,88x^2+6,9x-15,02 \\
	47	+ &=-1,88x^2+16,9x-15,02
	48	+\end{align}
	49	+{{/formula}}
	50	+
	51	+Da {{formula}}G(x){{/formula}} eine nach unten geöffnete Parabel ist, wissen wir, dass das Maximum der Funktion der Scheitelpunkt ist. Dieser liegt genau zwischen den beiden Nullstellen von {{formula}}G(x){{/formula}}.
	52	+Der Gewinn ist genau dann 0, wenn der Erlös genauso groß ist wie die Kosten.
	53	+Da wir bereits wissen, dass die Erlös- und Kostenfunktion an den Stellen {{formula}}x_1=1{{/formula}} und {{formula}}x_2\approx 8{{/formula}} gleich groß sind, sind dies die Nullstellen der Funktion {{formula}}G(x){{/formula}}.
	54	+
	55	+Das Maximum liegt genau zwischen den beiden Nullstellen der Funktion, das heißt an der Stelle {{formula}}x=\frac{1+8}{2}=4,5{{/formula}}.
	56	+
	57	+{{formula}}G(4,5)\approx 22,96{{/formula}}
	58	+
	59	+Der maximale Gewinn beträgt also in etwa 22,96 GE und bleibt somit nicht gleich.
	60	+
	61	+)))
	62	+