Lösung Musterklassenarbeit Aufgabe 7

Die Linearfaktordarstellung einer Funktion vierten Grades lautet allgemein \(f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)\), wobei \(x_1,x_2,x_3, x_4\) Nullstellen von \(f\) sind.

Der Graph besitzt eine Nullstelle an der Stelle \(x=-1\). Da der Graph an der Stelle die x-Achse schneidet, liegt eine einfache Nullstelle vor.
An der Stelle \(x=2\) liegt eine dreifache Nullstelle vor, da hier eine Sattelstelle (waagerechte Tangente) erkennbar ist.
Somit ist \(x_1=-1\) und \(x_{2,3,4}=2\) und die Linearfaktordarstellung ist gegeben durch \(f(x) = a(x+1)(x-2)^3\). 

Um nun den Faktor \(a\) zu bestimmen, setzen wir den Punkt \(P(0|-3)\)  (y-Achsenabschnitt) in die Funktionsgleichung ein:

\(-3=a\cdot(0+1)\cdot(0-2)^3=a\cdot 1 \cdot (-8) \ \Leftrightarrow \ a=\frac{-3}{-8}=\frac{3}{8}\).

Die Funktionsgleichung lautet also \(f(x) = \frac{3}{8}(x+1)(x-2)^3\)