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Zuletzt geändert von akukin am 2025/05/22 22:39
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1 Die Linearfaktordarstellung einer Funktion vierten Grades lautet allgemein {{formula}}f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4){{/formula}}, wobei {{formula}}x_1,x_2,x_3, x_4{{/formula}} Nullstellen von {{formula}}f{{/formula}} sind.
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3 Der Graph besitzt eine Nullstelle an der Stelle {{formula}}x=-1{{/formula}}. Da der Graph an der Stelle die x-Achse schneidet, liegt eine einfache Nullstelle vor.
4 An der Stelle {{formula}}x=2{{/formula}} liegt eine dreifache Nullstelle vor, da hier eine Sattelstelle (waagerechte Tangente) erkennbar ist.
5 Somit ist {{formula}}x_1=-1{{/formula}} und {{formula}}x_{2,3,4}=2{{/formula}} und die Linearfaktordarstellung ist gegeben durch {{formula}}f(x) = a(x+1)(x-2)^3{{/formula}}.
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7 Um nun den Faktor {{formula}}a{{/formula}} zu bestimmen, setzen wir den Punkt {{formula}}P(0|-3){{/formula}} (y-Achsenabschnitt) in die Funktionsgleichung ein:
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9 {{formula}}-3=a\cdot(0+1)\cdot(0-2)^3=a\cdot 1 \cdot (-8) \ \Leftrightarrow \ a=\frac{-3}{-8}=\frac{3}{8}{{/formula}}.
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11 Die Funktionsgleichung lautet also {{formula}}f(x) = \frac{3}{8}(x+1)(x-2)^3{{/formula}}