Änderungen von Dokument Lösung Fragestellungen zu einer Wertetabelle

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Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -1,37 +29,10 @@
1		-(% class="abc" %)
2		-1. (((
3		-1. Aus der Tabelle folgt: {{formula}}f(-3) = 0{{/formula}} und links sowie rechts davon ist {{formula}}f(x) < 0{{/formula}}. Da kein Vorzeichenwechsel stattfindet und laut Aufgabenstellung keine weiteren Nullstellen existieren, handelt es sich bei {{formula}}x = -3{{/formula}} um eine doppelte Nullstelle.
4		-1. Bei {{formula}}x = -1{{/formula}} gilt ebenfalls {{formula}}f(x) = 0{{/formula}}, hier wechselt das Vorzeichen aber von negativ zu positiv. Daher liegt eine einfache Nullstelle vor.
5		-1. Der Wert {{formula}}f(-4) = -3 < 0{{/formula}} zeigt, dass der Graph links im dritten Quadranten verläuft; {{formula}}f(0) = 9 > 0{{/formula}} belegt den Verlauf in den ersten Quadranten. Die Funktion dritten Grades mit positivem Leitkoeffizienten bestätigt diesen Verlauf.
6		-1. Da der Wert {{formula}}f(1){{/formula}} laut Tabelle nicht gegeben ist, bestimmen wir diesen über die Funktionsgleichung. Zunächst ermitteln wir diese in Teilaufgabe 2.
7		-
8		-)))
9		-2. Die Nullstellen sind {{formula}}x = -3{{/formula}} (doppelt) und {{formula}}x = -1{{/formula}} (einfach). Ansatz in Produktform:
10		-\[
11		-f(x) = a(x + 3)^2(x + 1)
12		-\]
13		-Einsetzen des Punktes {{formula}}f(0) = 9{{/formula}} ergibt:
14		-\[
15		-f(0) = a \cdot 3^2 \cdot 1 = 9a = 9 \Rightarrow a = 1
16		-\]
17		-Somit lautet die Funktionsgleichung:
18		-\[
19		-f(x) = (x + 3)^2(x + 1)
20		-\]
21		-Einsetzen von {{formula}}x = 1{{/formula}} ergibt:
22		-\[
23		-f(1) = (1 + 3)^2 \cdot (1 + 1) = 16 \cdot 2 = 32
24		-\Rightarrow f(1) \ne -8
25		-\]
26		-Der Punkt {{formula}}R(1|-8){{/formula}} liegt nicht auf dem Graphen von {{formula}}f{{/formula}}.
27		-
28		-
29	29	(%class=abc%)
30	30	1. (((
31		-1. Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel
32		-1. Nullstelle mit Vorzeichenwechsel
33		-1. Der Graph einer Polynomfunktion 3. Grades hat nur zwei Extrempunkte. Einer ist die doppelte NS, der andere ist iwo zwischen den beiden Nullstellen. Für {{formula}}x \rightarrow -\infty{{/formula}} werden die Funktionswerte negativ, für {{formula}}x \rightarrow \infty{{/formula}} positiv.
34		-1. Dafür müsste der Funktionsgraph einen weiteren Hochpunkt in der Nähe von //x=0// haben.
	3	+1. Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel (also gerade Vielfachheit: 2, 4, 6, ...) bei einer Funktion vom Grad 3.
	4	+1. Nullstelle mit Vorzeichenwechsel (also ungerade Vielfachheit: 1, 3, 5, ...) bei einer Funktion vom Grad 3 mit doppelter Nullstelle bei {{formula}}x=-3{{/formula}}.
	5	+1. Die Funktionswerte der Polynomfunktion {{formula}}f{{/formula}} sind links der Nullstellen negativ und rechts der Nullstellen positiv, also kommt ihr Graph von links unten und geht nach rechts oben.
	6	+1. Wenn (entgegen der Aussage) {{formula}}R(1|-8){{/formula}} auf dem Graphen läge, dann gölte {{formula}}f(1)=-8<0{{/formula}}; wegen {{formula}}f(0)=9>0{{/formula}} hätte die //stetige// Funktion {{formula}}f{{/formula}} eine Nullstelle zwischen {{formula}}0{{/formula}} und {{formula}}1{{/formula}}. Das stünde im //Widerspruch zur Voraussetzung// (alle Nullstellen tabelliert); das stünde zudem im //Widerspruch zum Fundamentalsatz der Algebra// (unter Berücksichtigung der Vielfachheiten nur bis zum Grad von {{formula}}f{{/formula}} reelle Nullstellen).
	7	+Kurz: Die Annahme war falsch; die Aussage ist richtig.
35	35	)))
36	36	1. (((Ansatz {{formula}}f(x)=a(x+3)^2(x+1){{/formula}}
37	37	Punktprobe mit {{formula}}(0|9){{/formula}}: