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Version 5.1 von Martin Rathgeb am 2025/04/06 22:08
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1 (%class=abc%)
2 1. (((
3 1. Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel (also gerade Vielfachheit: 2, 4, 6, ...) bei einer Funktion vom Grad 3.
4 1. Nullstelle mit Vorzeichenwechsel (also ungerade Vielfachheit: 1, 3, 5, ...) bei einer Funktion vom Grad 3 mit doppelter Nullstelle bei {{formula}}x=-3{{/formula}}.
5 1. Die Funktionswerte der Polynomfunktion {{formula}}f{{/formula}} sind links der Nullstellen negativ und rechts der Nullstellen positiv, also kommt ihr Graph von links unten und geht nach rechts oben.
6 1. Wenn {{formula}}R(1|-8){{/formula}} auf dem Graphen läge, dann gölte {{formula}}f(1)=-8<0{{/formula}}; wegen {{formula}}f(0)=9>0{{/formula}} hätte die stetige Polynomfunktion vom Grad 3 eine Nullstelle zwischen {{formula}}0{{/formula}} und {{formula}}1{{/formula}}. Das stünde im Widerspruch zur Voraussetzung (alle Nullstellen tabelliert).
7 Zudem stünde das im Widerspruch zum Fundamentalsatz der Algebra, wonach {{formula}}f{{/formula}} unter Berücksichtigung der Vielfachheiten nur bis zu {{formula}}3{{/formula}} reelle Nullstellen haben kann.
8 )))
9 1. (((Ansatz {{formula}}f(x)=a(x+3)^2(x+1){{/formula}}
10 Punktprobe mit {{formula}}(0|9){{/formula}}:
11 {{formula}}f(0)=9 \Rightarrow a\cdot3^2\cdot1=0\Rightarrow a=1{{/formula}}
12 Also: {{formula}}f(x)=(x+3)^2(x+1){{/formula}}
13 )))