Lösung Fragestellungen zu einer Wertetabelle

1. Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel (also gerade Vielfachheit: 2, 4, 6, ...) bei einer Funktion vom Grad 3.
2. Nullstelle mit Vorzeichenwechsel (also ungerade Vielfachheit: 1, 3, 5, ...) bei einer Funktion vom Grad 3 mit doppelter Nullstelle bei \(x=-3\).
3. Die Funktionswerte der Polynomfunktion \(f\) sind links der Nullstellen negativ und rechts der Nullstellen positiv, also kommt ihr Graph von links unten und geht nach rechts oben.
4. Wenn \(R(1|-8)\) auf dem Graphen läge, dann gölte \(f(1)=-8<0\); wegen \(f(0)=9>0\) hätte die stetige Polynomfunktion vom Grad 3 eine Nullstelle zwischen \(0\) und \(1\). Das stünde im Widerspruch zur Voraussetzung (alle Nullstellen tabelliert).
   Zudem stünde das im Widerspruch zum Fundamentalsatz der Algebra, wonach \(f\) unter Berücksichtigung der Vielfachheiten nur bis zu \(3\) reelle Nullstellen haben kann.

Ansatz \(f(x)=a(x+3)^2(x+1)\)
Punktprobe mit \((0|9)\):
\(f(0)=9 \Rightarrow a\cdot3^2\cdot1=0\Rightarrow a=1\)
Also: \(f(x)=(x+3)^2(x+1)\)