Lösung Fragestellungen zu einer Wertetabelle

1. Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel (also gerade Vielfachheit: 2, 4, 6, ...) bei einer Funktion vom Grad 3; gemäß FSdA ist nur \(2(\le 3)\) möglich.
2. Nullstelle mit Vorzeichenwechsel (also ungerade Vielfachheit: 1, 3, 5, ...) bei einer Funktion vom Grad 3 mit 2-facher Nullstelle bei \(x=-3\); gemäß FSdA ist nur \(1(\le 1=3-2)\) möglich.
3. Die Funktionswerte der Polynomfunktion \(f\) sind links der Nullstellen negativ und rechts der Nullstellen positiv, also kommt ihr Graph von links unten und geht nach rechts oben.
4. Wenn (entgegen der Aussage) \(R(1|-8)\) auf dem Graphen läge, dann gölte \(f(1)=-8<0\); wegen \(f(0)=9>0\) hätte die stetige Funktion \(f\) eine Nullstelle zwischen \(0\) und \(1\). Das stünde im Widerspruch zur Voraussetzung (alle Nullstellen tabelliert); das stünde zudem im Widerspruch zum Fundamentalsatz der Algebra (unter Berücksichtigung der Vielfachheiten nur bis zum Grad von \(f\) reelle Nullstellen).
   Kurz: Die Annahme war falsch; die Aussage ist richtig.

Ansatz \(f(x)=a(x+3)^2(x+1)\)
Punktprobe mit \((0|9)\):
\(f(0)=9 \Rightarrow a\cdot3^2\cdot1=0\Rightarrow a=1\)
Also: \(f(x)=(x+3)^2(x+1)\)