Änderungen von Dokument Lösung Parabel aus drei Punktproben

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8	8	Punktprobe mit {{formula}}P(3|1){{/formula}}: {{formula}}f_1(3)=1 \Rightarrow a(3-1)(3-2)=1 \Rightarrow 2a=1 \Rightarrow a=\frac{1}{2}{{/formula}}
9	9	{{formula}}\Rightarrow f_1(x)=\frac12(x-1)(x-2){{/formula}}
10	10
11		-(% class="border slim" %)
12	12	|{{formula}}x{{/formula}}|1|2|3
13	13	|{{formula}}f_2(x){{/formula}}|0|1|0
14	14
15		-Hier sind ebenfalls ale Nullstellen bekannt. Außerdem kann der Scheitelpunkt {{formula}}S(2|1){{/formula}} abgelesen werden. Ansatz also wahlweise mit Produkt- oder Scheitelform.
16		-Mit Scheitelpunkt sieht das so aus: {{formula}}f_2(x)=a(x-2)^2+1{{/formula}}
17		-Der Funktionswert an der Stelle //1// links von der Scheitelstelle ist //1// weniger als der an der Scheitelstelle. Der Streckungsfaktor ist also //-1//.
18		-{{formula}}\Rightarrow f_2(x)=-(x-2)^2+1{{/formula}}
19		-Den Wert für //a// hätte man alternativ durch Einsetzen des Punktes {{formula}}A(1|0){{/formula}} oder {{formula}}B(3|0){{/formula}} ausrechnen können
20		-
21		-(% class="border slim" %)
22	22	|{{formula}}x{{/formula}}|1|2|3
23	23	|{{formula}}f_3(x){{/formula}}|2|0|2
24	24
25		-Der Scheitelpunkt {{formula}}S(2|0){{/formula}} liegt auf der x-Achse und ist damit gleichzeitig eine doppelte Nullstelle. Die Scheitelpunktform und die Produktform sehen in diesem Fall exakt gleich aus:
26		-{{formula}}f_3(x)=a(x-2)^2{{/formula}}
27		-Eins neben dem Scheitelpunkt ist der Funktionswert //2// statt {{formula}}1^2=1{{/formula}}, also ist der Streckungsfaktor {{formula}}a=2{{/formula}}
28		-{{formula}}\Rightarrow f_3(x)=2(x-2)^2{{/formula}}
29		-
30		-(% class="border slim" %)
31	31	|{{formula}}x{{/formula}}|1|2|3
32	32	|{{formula}}f_4(x){{/formula}}|2|4|2
33	33
34		-Parabeln sind immer achsensymmetrisch zur Geraden {{formula}}x=x_S{{/formula}}. Wenn {{formula}}f_4{{/formula}} an den Stellen //1// und //3// den gleichen Funktionswert hat, muss die Scheitelstelle genau mittig dazwischen liegen, also bei {{formula}}x=2{{/formula}}. Der Funktionswert an den Stellen //1// und //3// ist //2// und damit zwei weniger als {{formula}}y_S{{/formula}}. Der Streckungsfaktor //a// ist also //-2//.
35		-{{formula}}\Rightarrow f_4(x)=-2(x-2)^2+4{{/formula}}
36		-
37		-(% class="border slim" %)
38	38	|{{formula}}x{{/formula}}|1|2|3
39	39	|{{formula}}f_5(x){{/formula}}|2|1|-2
40		-
41		-Hier sind weder Nullstellen, noch Symmetrien und auch kein y-Achsenabschnitt bekannt. Es sieht so aus, als müsste man mit 3 Punktproben ein Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten aufstellen. Wenn man sich die Wertetabelle genauer anschaut, sieht man, dass es einen schnelleren Weg gibt. Der vertikale Abstand zwischen den Stellen //1// und //2// ist {{formula}}-1=-1^2{{/formula}}, der zwischen //1// und //3// ist {{formula}}-4=-2^2{{/formula}}. Also muss {{formula}}S(1|2){{/formula}} der Scheitelpunkt sein und der Streckungsfaktor //-1//.
42		-{{formula}}\Rightarrow f_5(x)=-(x-1)^2+2{{/formula}}
43		-