Lösung Parabel aus drei Punktproben
Version 2.1 von Holger Engels am 2025/03/27 19:29
Haupt-, Scheitel(punkts)-, Produktform. Bestimme aus folgenden Wertetabellen (je drei Wertepaare) jeweils die quadratische Funktion.
| \(x\) | 1 | 2 | 3 |
| \(f_1(x)\) | 0 | 0 | 1 |
Alle Nullstellen sind bekannt. Es empfiehlt sich, mit der Produktform anzusetzen:
\(f_1(x)=a(x-1)(x-2)\)
Punktprobe mit \(P(3|1)\): \(f_1(3)=1 \Rightarrow a(3-1)(3-2)=1 \Rightarrow 2a=1 \Rightarrow a=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow f_1(x)=\frac12(x-1)(x-2)\)
| \(x\) | 1 | 2 | 3 |
| \(f_2(x)\) | 0 | 1 | 0 Hier sind ebenfalls ale Nullstellen bekannt. Außerdem kann der Scheitelpunkt \(S(2|1)\) abgelesen werden. Ansatz also wahlweise mit Produkt- oder Scheitelform. Mit Scheitelpunkt sieht das so aus: \(f_2(x)=a(x-2)^2+1\) Der Funktionswert an der Stelle 1 links von der Scheitelstelle ist 1 weniger als der an der Scheitelstelle. Der Streckungsfaktor ist also -1. \(\Rightarrow f_2(x)=-(x-2)^2+1\) Den Wert für a hätte man alternativ durch Einsetzen des Punktes \(A(1|0)\) oder \(B(3|0)\) ausrechnen können |
| \(x\) | 1 | 2 | 3 |
| \(f_3(x)\) | 2 | 0 | 2 |
| \(x\) | 1 | 2 | 3 |
| \(f_4(x)\) | 2 | 4 | 2 |
| \(x\) | 1 | 2 | 3 |
| \(f_5(x)\) | 2 | 1 | -2 |